zpět na výpis    domů » matematika » Exponenciální funkce a její vlastnosti

Exponenciální funkce a její vlastnosti

Publikováno: 29.5.2017

Exponenciální funkce a její vlastnosti

Exponenciální funkce je dána předpisem y = f(x) = ax, kde y je závisle proměnná, a je základ a x je nezávisle proměnná, která je v exponentu. Základ a musí být větší než nula a zároveň různý od jedné (a > 0 ∧ a≠1). Grafem exponenciální funkce je exponenciála.

Exponenciální křivka prochází bodem P[0; 1], neboť platí a0 = 1. Pokud je a > 1, pak je exponcenciální funkce rostoucí. Pokud je 0 < a < 1 , pak je exponenciální funkce klesající.

Exponenciální funkce

Inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmická.

Vlastnosti exponenciální funkce

Definičním oborem funkce je množina reálných hodnot D(f) = R. Obor funkčních hodnot H(f) je definován intervalem (0; +∞).

Exponenciální funkce je ryze monotónní funkce, neboť je na celém definičním oboru rostoucí nebo klesající. Funkce je prostá a zdola omezená. Funkce nemá maximum ani minimum.

Pro a > 1 je křivka funkce rostoucí. Pro 0 < a <1 je křivka funkce klesající.

Modelování exponenciálního trendu

Znalost exponenciální funkce umožňuje její využití ve statistice při modelování exponenciálních trendů. Například prodej nově zavedeného výrobku na trh může v prvních letech exponenciálně růst. K modelování trendu by mohla být využita exponenciální funkce ve tvaru T = β0β1t, kde t představuje časovou proměnnou a β0, β1 jsou neznámé parametry funkce.

Exponenciální trendovou funkci je nejdříve potřeba zlinearizovat pomocí logaritmické transformace na tvar lnT = lnβ0 + tlnβ1. Teprve poté je možné trendovou funkci odhadnout pomocí metody nejmenších čtverců.

Exponenciální trendová funkce

Na základě empirických dat je odhadnuta zlogaritmovaná trendová funkce ve tvaru lnT = ln1,226 + tln0,271. Po zpětné transformaci do exponenciálního tvaru je výsledná trendová funkce T = 3,4073·1,311t.

Všimněte si, že Excel (na obrázku) použil jiný zápis pro stejnou trendovou funkci. Výsledky jsou však naprosto stejné. Excel pouze použil formální zápis pro parametr β1. Platí totiž, že e0,271 je rovno 1,311.

Odhad exponenciální regresní funkce v MS Excel krok za krokem

1. sestrojit bodový graf
2. označit body v grafu a pravým tlačítkem myši vyvolat nabídku
3. v nabídce vybrat Přidat spojnici trendu
4. vybrat exponenciální trend a zaškrtnout dvoupolohový přepínač Zobrazit rovnici regrese

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • SEIBERT, J., KOLDA, S.: Úvod do studia matematiky na Univerzitě v Pardubicích. Univerzita Pardubice 2004, Pardubice. Deváté vydání, 87 stran. ISBN 80-7194-423-8
Nahoru