zpět na výpis    domů » matematika » Kvadratická funkce a její aplikace

Kvadratická funkce a její aplikace

Publikováno: 26.5.2017

Kvadratická funkce a její aplikace

Kvadratická funkce je polynomická funkce druhého stupně, která je dána funkčním předpisem

Funkční předpis kvadratické funkce

kde y je závisle proměnná, x je nezávisle proměnná a koeficienty a, b, c jsou konstanty.

Grafem kvadratické funkce je parabola, která svým tvarem připomíná písmeno U. Pro koeficient a > 0 směřuje vrchol paraboly dolů, pro a < 0 směřuje vrchol paraboly nahoru.

Graf a vlastnosti kvadratické funkce

Nejjednodušší kvadratická funkce bez lineárního a absolutního členu (tj. b, c = 0) má tvar

Kvadratické funkce bez lineárního a absolutního členu

Parabola této funkce je souměrná podél osy y s vrcholem o souřadnicích [0,0]. Taková funkce se označuje jako sudá funkce, tj. funkční hodnoty pro x a -x jsou shodné

Vlastnosti funkce - sudá funkce
Graf kvadratické funkce

Jestliže k předchozí funkci přidáme nenulovou konstantu c získáme kvadratickou funkci ve tvaru

Kvadratické funkce bez absolutního členu

Nenulová konstanta neboli absolutní člen zajistí posun paraboly podél osy y nahoru (kladné c) či dolů (záporné c). Vrchol paraboly se pak nachází v bodě o souřadnicích [0,c]

Graf kvadratické funkce bez lineárního členu

Konečně se dostáváme ke kvadratické funkci v kompletním tvaru s funkčním předpisem

Kvadratická funkce

Lineární člen bx zajistí posun paraboly vpravo nebo vlevo. Je-li koeficient b kladný, parabola se posune doleva. Je-li záporný, parabola se posune doprava. Taková funkce již není sudá, protože není souměrná podél osy y.

Graf kvadratické funkce

Vrchol paraboly se posunul do bodu [-1,-4]. V tomto a podobných případech můžeme souřadnice vrcholu paraboly vypočítat jako

Vrchol paraboly kvadratické funkce

Kořeny kvadratické funkce

Na předcházejícím grafu parabola protíná osu x ve dvou bodech. Tyto dva průsečíky se označují jako kořeny kvadratické funkce. Kořeny kvadratické funkce se počítají dosazením koeficientů kvadratické funkce do následujícího vzorce

Výpočet kořenů kvadratické funkce

přičemž výraz pod odmocninou se označuje jako diskriminant kvadratické funkce. Hodnota diskriminantu informuje o počtu reálných kořenů kvadratické funkce

Diskriminant kvadratické funkce

Pro D > 0 existují 2 reálné kořeny, pro D = 0 existuje jeden reálný kořen a pro D < 0 reálný kořen neexistuje.

Výpočet reálných kořenů kvadratické funkce

Graf kvadratická funkce protíná osu x v bodech x1 = 1 a x2 = -3.

Odhad regresní paraboly

Znalost kvadratické funkce lze v praxi aplikovat na odhad regresní paraboly, který se provádí pomocí metody nejmenších čtverců.

V mikroekonomické teorii má kvadratická funkce uplatnění například v případě celkových tržeb (TR = P·Q) v prostředí nedokonalé konkurence. Cena P je v nedokonalé konkurenci variabilní. Pokud firma snižuje cenu, mohou její tržby růst nebo klesat. Je-li poptávka po produkci firmy elastická, pak při poklesu ceny tržby firmy rostou.

V následujícím grafu jsou na vertikální ose tržby za prodej výrobků a na horizontální ose objem produkce. Se snižováním ceny produkce nejdříve celkové tržby rostou. Od určitého bodu však dochází k poklesu tržeb.

Regresní parabola

Tržby firmy rostou pouze do určitého bodu. Tento bod se označuje jako lokální maximum tržeb, který lze vypočítat pomocí první derivace odhadnuté funkce

Odhad maximálních tržeb firmy

Tržby firmy jsou maximalizovány při výrobě 64 ks výrobků.

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. Základní kurs. MELANDRIUM 2002, Slaný. Sedmé vydání, 275 stran. ISBN 80-86175-20-0
  • MEZNÍK, I.: Matematika I. Ing. Zdeněk Novotný CSc. 2002, Brno. Třetí vydání, 144 stran. ISBN 80-86510-46-8
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • SEIBERT, J., KOLDA, S.: Úvod do studia matematiky na Univerzitě v Pardubicích. Univerzita Pardubice 2004, Pardubice. Deváté vydání, 87 stran. ISBN 80-7194-423-8
  • VOSMANSKÁ, G.: Matematika. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. Páté nezměněné vydání, 120 stran. ISBN 978-80-7375-079-4
Nahoru