zpět na výpis    domů » matematika » Kvadratická funkce a její aplikace

Kvadratická funkce a její aplikace

Publikováno: 26.5.2017

Kvadratická funkce a její aplikace

Kvadratická funkce je polynomická funkce druhého stupně. Je dána předpisem y = f(x) = ax2 + bx + c, kde y je závisle proměnná, x je nezávisle proměnná a koeficienty a, b, c jsou konstanty. Grafem kvadratické funkce je parabola.

Vrchol paraboly kvadratické funkce ve tvaru f(x) = ax2 prochází počátkem. Pokud a > 0 směřuje vrchol paraboly směrem dolů. Pro a < 0 směřuje vrchol paraboly směrem nahoru.

Graf kvadratické funkce

Vlastnosti kvadratické funkce

Kvadratická funkce je sudá funkce. Její tvar připomíná písmeno U a je souměrná podél osy y. Intervaly monotónnosti, a maximum nebo minimum funkce závisí na hodnotě koeficientu a.

Sudá funkce

Je-li graf funkce f symetrický podle osy y, funkce se označuje jako sudá. Pro funkční hodnoty f(x) sudé funkce platí následující vztah:

Vlastnosti funkce - sudá funkce

Vlastnosti kvadratické funkce pro a > 0

Vlastnosti kvadratické funkce pro a < 0

Posuny paraboly

Vrchol paraboly kvadratické funkce ve tvaru f(x) = x2 prochází počátkem. Graf funkce f(x) = x2 + 1 vznikne posunutím počátku paraboly [0,0] po ose y nahoru do bodu [0,1]. Naopak graf funkce f(x) = x2 - 4 vznikne posunem počátku paraboly po ose y směrem dolů do bodu [0,-4].

Kvadratická funkce - posuny paraboly

Kořeny kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce f(x) = x2 - 4 protíná osu x ve dvou bodech. Tyto dva průsečíky se označují jako kořeny kvadratické funkce. Kořeny kvadratické funkce lze spočítat řešením rovnice f(x) = ax2 + bx + c = 0 pomocí vzorce

Kvadratická funkce - výpočet reálných kořenů

Hodnota diskriminantu D ve vzorci informuje o počtu reálných kořenů kvadratické funkce. Pro D > 0 existují 2 reálné kořeny, pro D = 0 existuje jeden reálný kořen a pro D < 0 reálný kořen neexistuje. Vzorec pro výpočet diskriminantu je

Kvadratická funkce - výpočet diskriminantu

Kvadratická funkce - reálné kořeny

Graf funkce f(x) = x2 - 4 protíná osu x v bodech -2 a 2.

Odhad regresní paraboly

Znalost kvadratické funkce lze v praxi aplikovat na odhad regresní paraboly. Odhad regresní paraboly se provádí pomocí metody nejmenších čtverců.

V mikroekonomické teorii má kvadratická funkce uplatnění například v případě celkových příjmů (TR = P·Q) v prostředí nedokonalé konkurence. Cena P je v nedokonalé konkurenci variabilní. Pokud firma snižuje cenu, mohou její tržby růst nebo klesat. Je-li poptávka po produkci firmy elastická, pak při poklesu ceny tržby firmy rostou.

V následujícím grafu jsou na vertikální ose tržby za prodej výrobků a na horizontální ose objem produkce. Se snižováním ceny produkce nejdříve celkové tržby rostou. Od určitého bodu však dochází k poklesu tržeb.

Kvadratická regrese

Z grafu je patrný růst tržeb pouze do určitého bodu. Tento bod se označuje jako lokální maximum tržeb, který lze vypočítat pomocí první derivace funkce TR.

Kvadratická funkce - odhad tržeb firmy

Tržby firmy jsou maximalizovány při výrobě 64 ks výrobků.

Odhad regresní paraboly v MS Excel krok za krokem

1. sestrojit bodový graf
2. označit body v grafu a pravým tlačítkem myši vyvolat nabídku
3. v nabídce vybrat Přidat spojnici trendu
4. vybrat polynomickou regresi 2. stupně a zaškrtnout dvoupolohový přepínač Zobrazit rovnici regrese

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. Základní kurs. MELANDRIUM 2002, Slaný. Sedmé vydání, 275 stran. ISBN 80-86175-20-0
  • MEZNÍK, I.: Matematika I. Ing. Zdeněk Novotný CSc. 2002, Brno. Třetí vydání, 144 stran. ISBN 80-86510-46-8
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • SEIBERT, J., KOLDA, S.: Úvod do studia matematiky na Univerzitě v Pardubicích. Univerzita Pardubice 2004, Pardubice. Deváté vydání, 87 stran. ISBN 80-7194-423-8
  • VOSMANSKÁ, G.: Matematika. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. Páté nezměněné vydání, 120 stran. ISBN 978-80-7375-079-4
Nahoru