zpět na výpis    domů » statistika » Detekce autokorelace náhodné složky v praxi

Detekce autokorelace náhodné složky v praxi

Publikováno: 23.5.2018

Detekce autokorelace náhodné složky v praxi

V článku Regresní přímka a Cramerovo pravidlo je odhadnut model lineární závislosti průměrné měsíční spotřeby na průměrném měsíčním příjmu spotřebitele v jednotlivých letech. Úkolem je nyní analyzovat reziduální složku výběrové regresní přímky z hlediska sériové nezávislosti pomocí grafického vývoje v čase, autoregresního modelu procesu AR(1) a Durbin-Watsonova testu.

Testování autokorelace v praxi

V modelu regresní přímky vystupují spotřební výdaje spotřebitele jako závisle proměnná y a příjem spotřebitele jako nezávisle proměnná x. Model regresní přímky reprezentuje jednoduchý model spotřební funkce spotřebitele. Následující tabulka obsahuje realizace proměnných y a x, vyrovnané hodnoty Y a vypočtené hodnoty reziduální složky e.

Hodnoty reziduální složky regresní přímky

Výběrová regresní přímka s odhady b0 a b1 má následující podobu:

Výběrová regresní přímka

Víme, že skutečná hodnota závisle proměnné y (spotřební výdaje) je dána stochastickou závislostí na vyrovnané hodnotě Y a reziduální složce e.

Stochastická závislost závisle proměnné

Z uvedeného vztahu vypočítáme hodnoty reziduální složky pro jednotlivé roky, které dále použijeme pro grafické zobrazení v čase, výpočet autokorelačního koeficientu procesu AR(1) a Durbin-Watsonův test.

Výpočet hodnot reziduální složky

Například hodnota rezidua pro rok 2017 je -0,014.

Výpočet hodnoty rezidua pro rok 2017

Grafická analýza reziduí

Z následujícího grafu vývoje reziduí v čase je patrné časté překřížení časové osy. Rezidua, která často střídají znaménka, jsou podezřelá z negativní autokorelace.

Graf reziduí v čase

Autokorelační koeficient ρ

Nejčastější formou autokorelační struktury náhodné složky je autokorelace prvního řádu, kterou lze popsat pomocí autoregresního procesu AR(1).

Autoregresní proces AR(1)

kde ρ je autokorelační koeficient prvního rádu a ut je normálně rozdělená náhodná složka.

Je-li autokorelační koeficient ρ statisticky významný, jsou hodnoty náhodné složky sériově závislé. V praxi pracujeme s výběrovým odhadem r parametru ρ. Odhad r se provádí standardně metodou nejmenších čtverců pomocí následující odhadové funkce.

Odhad autokorelačního koeficientu prvního řádu

Následující tabulka obsahuje hodnoty reziduí a upravených hodnot pro odhad výběrového autokorelačního koeficientu prvního řádu r.

Výpočet autokorelačního koeficientu AR(1) procesu

Záporná hodnota odhadu r indikuje možnost negativní autokorelace.

Odhad parametru r

Abychom mohli vyhodnotit statistickou významnost parametru r a tedy významnost autokorelace, musíme nejdříve odhadnout rozptyl reziduální složky s2 a inverzní matici (XTX)-1.

Odhad rozptylu náhodné složky autoregresního procesu AR(1)

Dalším krokem je výpočet inverzní matice (XTX)-1. Jednosloupcovou matici (vektor) X naplníme hodnotami nezávisle proměnné et-1 z autoregresního modelu. Sloupcový vektor X transponujeme na řádkový XT a součin vektorů XTX převedeme na inverzní matici pomocí transformace na jednotkovou matici nebo v excelu pomocí maticové funkce INVERZE().

Odhad inverzní matice

Konečně odmocněním součinu s2 a (XTX)-1 získáme standardní chybu odhadu r.

Standardní chyby odhadu r

Na základě t-testu, který má Studentovo rozdělení t s (n - k) stupni volnosti, můžeme nyní rozhodnout o statistické (ne)významnosti odhadu autokorelačního koeficientu.

Testovací statistika T-test

Absolutní hodnotu vypočteného t-testu porovnáme s kvantilem Studentova rozdělení t1-α/2(n - k) na hladině významnosti alfa=0,05. Hodnotu kvantilu zjistíme ve statistických tabulkách nebo v excelu pomocí funkce TINV().

Vyhodnocení t-testu pro koeficient r

Na 5% hladině významnosti zamítáme hypotézu o statistické významnosti neboli s 97,5% pravděpodobností považujeme bodový odhad r za statisticky nevýznamný. Jinými slovy, hodnoty reziduální složky nejsou sériové závislé.

Výpočet Durbin-Watsonova testu

Následující tabulka obsahuje rezidua v čase t pro jednotlivé roky a jejich zpožděné hodnoty pro čas t-1. Z hodnot v tabulce vypočítáme Durbin-Watsonův test, který se používá k testování reziduí podezřelých z autokorelace prvního řádu.

Výpočet Durbin-Watsonova testu reziduí

Výpočet Durbin-Watsonova testu reziduí

Výsledek Durbin-Watsonova testu je vyšší než 2. Z toho můžeme předběžně usuzovat na negativní autokorelaci reziduální složky. K přesnému posouzení výsledků použijeme tabulkové hodnoty pro dolní dL a horní dU meze, které vymezují intervaly autokorelace, nulové autokorelace a šedé zóny pro daný počet pozorování n a počet nezávisle proměnných k.

Odhad výběrové regresní přímky spotřební funkce je založen na n = 8 a k = 1. Ve statistických tabulkách jsou pro uvedené hodnoty dL = 0,76 a dU = 1,33.

Vyhodnocení Durbin-Watsonova testu

Durbin-Watsonův test potvrdil nulovou autokorelaci reziduální složky. Reziduální složka modelu tedy není sériové závislá.

Shrnutí testů reziduální složky

Z provedených testů sériové nezávislosti reziduální složky máme jednoznačný výsledek. Grafický vývoj hodnot reziduální složky v čase sice poukazoval na negativní autokorelaci, ale odhad autokorelačního koeficientu procesu AR(1) a Durbin-Watsonův test negativní autokorelaci vyvrátily.

Odhad náhodné složky regresního modelu můžeme prohlásit za sériově nezávislý. To znamená, že odhady regresních parametrů jsou nestranné a jejich rozptyly zůstávají také vydatné.

Funkce v MS Excel

  • ABS() - vrátí absolutní hodnotu
  • TINV() - tabelovaná hodnota t-statistiky
  • SOUČIN.MATIC() - vrátí součin dvou matic
  • INVERZE() - vrátí inverzní matici

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Použité zdroje a literatura
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • JAROŠOVÁ, E., PECÁKOVÁ, I.: Příklady k předmětu statistika B. Vysoká škola ekonomická 2003, Praha. První vydání, 222 stran. ISBN 80-245-0015-9
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
Nahoru