zpět na výpis    domů » statistika » Koeficienty kovariance a korelace

Koeficienty kovariance a korelace

Publikováno: 19.5.2017

Koeficienty kovariance a korelace

Kovariance a korelace vyjadřují míru vzájemné závislosti veličin/proměnných. Používají se například v regresní analýze ke kvantifikaci vzájemné závislosti proměnných, kvality regresního modelu a výpočtu koeficientu beta cenných papírů. Ve finanční teorii májí široké uplatnění zejména v moderní teorii portfolia cenných papírů.

Kovariance

Kovariance C(X,Y) je statistická charakteristika, která určuje vzájemnou závislost veličin X a Y. Kovariance může nabývat hodnot na intervalu ⟨-∞, ∞⟩.

Kovariance je definována jako střední hodnota součinu odchylek veličin X a Y od jejich středních hodnot.

Kovariance veličin X a Y

Kovariance náhodných veličin X a Y

E(X), E(Y) ... střední hodnoty veličin

Význam hodnot kovariancí je následující:

  • C(X,Y) > 0 - veličiny X a Y se pohybují stejným směrem (současně rostou nebo klesají)
  • C(X,Y) = 0 - veličiny X a Y jsou navzájem nezávislé
  • C(X,Y) < 0 - mezi veličinami X a Y je inverzní vztah (jedna roste a druhá klesá a naopak)

Při praktickém výpočtu kovariance mezi veličinami jsou rozlišovány 2 varianty - populační a výběrová kovariance. Výběrová kovariance se používá pro odhad populační kovariance při malém rozsahu dat (n < 30).

Výpočet kovariance

Kovariance vzorec

σxy ... populační koeficient kovariance
sxy ... výběrový koeficient kovariance (n < 30)
x, y... prosté aritmetické průměry veličin X a Y
n ... počet pozorování

Při zjišťování závislosti mezi více než 2 náhodnými proměnnými jsou jednotlivé párové kovariance uspořádány do kovarianční matice (C). Kovarianční matice je symetrická matice s diagonálními prvky rovny rozptylu jednotlivých veličin. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty kovariance.

Kovarianční matice

Důkaz rovnosti kovariance σ11 na diagonále kovarianční matice a rozptylu σ2 proměnné x1:

Důkaz rovnosti kovariance a rozptylu stejné veličiny

Korelační koeficient

Korelace ρ(X,Y) měří lineární závislost mezi veličinami X a Y. Korelační koeficient standardizuje kovarianci a výsledkem jsou hodnoty na intervalu ⟨-1; 1⟩.

Korelace je vyjádřena jako poměr kovariance k součinu směrodatných odchylek veličin X a Y.

Korelace náhodných veličin

Korelace náhodných veličin

D2(X), D2(Y) ... rozptyly náhodných veličin X a Y
D(X), D(Y) ... směrodatné odchylky náhodných veličin X a Y

Význam hodnot koeficientů korelace je následující:

  • ρ(X,Y) = 1 - mezi veličinami X a Y existuje dokonalá přímá závislost
  • ρ(X,Y) = 0 - veličiny X a Y nejsou korelované
  • ρ(X,Y) = -1 - mezi veličinami X a Y je dokonalý inverzní vztah

Stejně jako u kovariance se rozlišuje populační a výběrový koeficient korelace. Výběrová korelace se používá pro odhad populační korelace při malém rozsahu dat (n < 30).

Základní koeficient korelace, který měří lineární závislost mezi 2 proměnnými, se nazývá párový korelační koeficient.

Párový koeficient korelace

Koeficient korelace vzorec

ρx,y ... populační koeficient korelace
rx,y ... výběrový koeficient korelace
σxy, sxy ... kovariance veličin X a Y
σx, σy ... směrodatné odchylky veličin X a Y
sx, sy ... výběrové směrodatné odchylky veličin X a Y (n < 30)

V případě zkoumání lineární závislosti mezi více než 2 proměnnými jsou párové korelační koeficienty uspořádány do korelační matice (ρ). Korelační matice je symetrická matice s diagonálními prvky rovny 1. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty korelace.

Korelační matice

Jestliže jsou korelační koeficienty mimo diagonálu nulové je korelační matice rovna jednotkové matici (I).

Důkaz rovnosti korelačního koeficientu ρ11 na diagonále korelační matice a 1 pro veličinu x1:

Rovnost korelace stejné veličiny a jedničky

Funkce v MS Excel

  • COVAR() - vrátí hodnotu kovariance základního souboru (2003)
  • COVARIINACE.P() - vrátí hodnotu kovariance základního souboru (> 2003)
  • COVARIANCE.S() - vrátí hodnotu kovariance výběru (> 2003)
  • CORREL() - vrátí párový korelační koeficient

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • CYHELSKÝ, L., KAHOUNOVÁ, J., HINDLS, R.: Elementární statistická analýza. Management Press 2001, Praha. Druhé doplněné vydání, 319 stran. ISBN 80-7261-003-1
  • ČÁMSKÝ, F.: Teorie portfolia. Masarykova univerzita 2007, Brno. Druhé přepracované a rozšířené vydání, 123 stran. ISBN 978-80-210-4252-0
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • MINAŘÍK, B.: Statistika II. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. První vydání, 136 stran. ISBN 978-80-7375-033-6
  • Wikipedie. Kovariance [on-line] [cit. 2017-05-19]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariance
  • Wikipedie. Korelace [on-line] [cit. 2017-05-19]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Korelace
Nahoru