zpět na výpis    domů » statistika » Kovarianční a korelační matice

Kovarianční a korelační matice

Publikováno: 25.5.2017

Kovarianční a korelační matice

Kovariance a korelace slouží k vyjádření vzájemné závislosti náhodných veličin. V případě zkoumání závislosti mezi více než 2 náhodnými veličinami jsou koeficienty kovariance a korelace uspořádány do kovarianční a korelační matice.

Kapitola obsahuje stručný výklad teorie a vzorce pro výpočet kovariance a korelace. Cílem kapitoly je výpočet koeficientů kovariance a korelace a sestavení kovarianční a korelační matice.

Kovariance

Kovariance σxy je statistická charakteristika, která určuje vzájemnou závislost sledovaných veličin. Kovariance může nabývat hodnot na intervalu ⟨-∞, ∞⟩.

Význam vypočtených hodnot kovariancí je následující:

  • σxy > 0 - veličiny x a y se pohybují stejným směrem (současně rostou nebo klesají)
  • σxy = 0 - veličiny x a y jsou navzájem nezávislé
  • σxy < 0 - mezi veličinami x a y je inverzní vztah (jedna roste a druhá klesá a naopak)

Koeficienty kovariance

Kovariance vzorec

σxy ... populační koeficient kovariance
sxy ... výběrový koeficient kovariance (n < 30)
xi, yi ... realizace proměnných x a y
x, y ... prosté aritmetické průměry veličin x a y
n ... počet pozorování

Kovarianční matice (C) je symetrická matice, která má na diagonále rozptyly jednotlivých veličin. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty kovariance.

Kovarianční matice

Korelace

Korelace ρxy měří lineární závislost mezi náhodnými veličinami. Standardizuje kovarianci a výsledkem jsou hodnoty na intervalu ⟨-1; 1⟩.

Význam vypočtených hodnot koeficientů korelace je následující:

  • ρxy = 1 - mezi veličinami x a y existuje dokonalá přímá závislost
  • ρxy = 0 - veličiny x a y nejsou korelované
  • ρxy = -1 - mezi veličinami x a y je dokonalý inverzní vztah

Vzorec pro výpočet korelace je vyjádřen jako poměr kovariance k součinu směrodatných odchylek sledovaných veličin.

Koeficienty korelace

Koeficient korelace vzorec

ρx,y ... populační koeficient korelace
rx,y ... výběrový koeficient korelace
σxy, sxy ... kovariance veličin x a y
σx, σy ... směrodatné odchylky veličin x a y
sx, sy ... výběrové směrodatné odchylky veličin x a y (n < 30)

Korelační matice (ρ) je symetrická matice, která má na diagonále samé jedničky. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty korelace.

Korelační matice

Výpočet kovarianční a korelační matice

Akciový trh je reprezentován váženým akciovým indexem FvP. Index je vážen tržní kapitalizací 5 kótovaných společností - akcie A (30 %), akcie B (12 %), akcie C (8 %), akcie D (21 %) a akcie E (29 %).

Úkolem je:
a) vypočítat kovariance akcií a indexu z denních výnosností
b) vypočítat korelační koeficienty
c) sestavit kovarianční matici
d) sestavit korelační matici

Tržní ceny akcií a akciového indexu

Z tržních cen akcií a kurzu indexu jsou vypočteny denní změny v procentech. Z nich jsou pak vypočteny průměrné výnosnosti PRŮMĚR(), rozptyly výnosností VAR.VÝBĚR(), směrodatné odchylky SMODCH.VÝBĚR() a variační koeficienty SMODCH.VÝBĚR()/PRŮMĚR().

Denní výnosnost indexu a akcií v %

Variační koeficient poměřuje riziko akcie měřené směrodatnou odchylkou a průměrnou výnosnost měřenou aritmetickým průměrem. Variační koeficient říká, kolik % rizika připadá na 1 % výnosnosti. Nejlépe vychází akcie E s variačním koeficientem 4,594 a nejhůře akcie D s 16,572.

Ad a) kovarianční koeficienty

Index a akcie A
Výpočet kovariance

Kovariance akciového indexu
Výpočet kovariance

Ad b) korelační koeficienty

Index a akcie A
Výpočet korelace

Korelace akciového indexu
Výpočet korelace

Stejným způsobem by se postupovalo pro všechny ostatní koeficienty kovariance a korelace.

Ad c) kovarianční matice

Hodnoty kovariancí na diagonále musí být rovny rozptylu denních výnosností jednotlivých akcií a indexu. Hodnoty na diagonále kovarianční matice tedy slouží jako kontrola správnosti vypočtených kovariancí.

Kovarianční matice

Ad d) korelační matice

Jako kontrola správnosti vypočtených korelačních koeficientů uspořádaných do korelační matice slouží hodnoty na diagonále matice. Hodnoty na diagonále korelační matice musí být rovny jedné.

Korelační matice

V korelační matici jsou barevně zvýrazněny významné korelační koeficienty |rxy| > 0,4. Koeficient korelace 0,645 vypovídá o poměrně silné přímé závislosti mezi akciovým indexem a tržní cenou akcie E. Naopak koeficient korelace -0,489 vypovídá o poměrně silném negativním vztahu akcií A a C.

Chcete vědět o každém novém článku? Sledujte Finance v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • CYHELSKÝ, L., KAHOUNOVÁ, J., HINDLS, R.: Elementární statistická analýza. Management Press 2001, Praha. Druhé doplněné vydání, 319 stran. ISBN 80-7261-003-1
  • ČÁMSKÝ, F.: Teorie portfolia. Masarykova univerzita 2007, Brno. Druhé přepracované a rozšířené vydání, 123 stran. ISBN 978-80-210-4252-0
Nahoru