zpět na výpis    domů » statistika » Rozptyl a směrodatná odchylka

Rozptyl a směrodatná odchylka

Publikováno: 21.4.2017

Rozptyl a směrodatná odchylka

Rozptyl a směrodatná odchylka jsou v teorii i praxi nejčastěji používané míry variability statistických znaků. Tyto charakteristiky obecně měří proměnlivost (variabilitu) hodnot kolem střední hodnoty (aritmetického průměru).

Rozptyl

Rozptyl (σ2) je definován jako průměrná čtvercová odchylka statistického znaku od aritmetického průměru.

Vzorec pro výpočet rozptylu

σ2 = ∑(xi - xp)2/n

s2 = ∑(xi - xp)2/(n - 1)

σ2 ... rozptyl základního souboru
s2 ... výběrový rozptyl pro n < 30
xp ... prostý aritmetický průměr

Při praktických výpočtech rozptylu se rozlišuje rozptyl základního souboru (populace) σ2 a jeho výběrový protějšek s2. Výběrový rozptyl je počítán pro rozsah dat n < 30. Rozdíl mezi σ2 a s2 je při větším rozsahu dat zanedbatelný.

Rozptyl v MS Excel

σ2 = VAR()
s2 = VAR.VÝBĚR()

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka (σ) se počítá jako druhá odmocnina z rozptylu √σ2 = σ. Dle délky rozsahu dat se rozlišují populační směrodatná odchylka (σ) a výběrová směrodatná odchylka (s). Populační směrodatná odchylka představuje směrodatnou odchylku základního souboru. Zatímco její výběrová charakteristika je počítána z výběru dat ze základního souboru.

Výběrová směrodatná odchylka se počítá pro rozsah dat n < 30. Při větším rozsahu dat je výpočet výběrové charakteristiky identický jako populační varianta.

σ = √σ2 = √(∑(xi - xp)2/n)

s = √s2 = √(∑(xi - xp)2/(n - 1))

σ ... směrodatná odchylka základního souboru
s ... výběrová směrodatná odchylka pro n < 30
xp ... prostý aritmetický průměr

Hodnota směrodatné odchylky se snáze interpretuje než hodnota rozptylu. Ve finanční teorii je směrodatná odchylka považována za riziko změny výnosnosti aktiva. Tedy vyjadřuje lineární vzdálenost skutečné výnosnosti od průměrné výnosnosti aktiva.

Směrodatná odchylka v MS Excel

σ = SMODCH()
s = SMODCH.VÝBĚR()

Výpočet rozptylu a směrodatné odchylky

Akciový trh je reprezentován váženým akciovým indexem FvP. Index je vážen tržní kapitalizací 5 kótovaných společností - akcie A (30 %), akcie B (12 %), akcie C (8 %), akcie D (21 %) a akcie E (29 %)..

Úkolem je:
a) vypočítat rozptyly denních výnosností akcií a indexu
b) vypočítat směrodatné odchylky

Tržní ceny akcií a akciového indexu

Na základě tržních cen akcií a akciového indexu jsou vypočteny denní změny v %. Z nich jsou pak pomocí funkcí v MS Excel vypočteny průměrné výnosnosti PRŮMĚR(), rozptyly výnosností VAR.VÝBĚR(), směrodatné odchylky SMODCH.VÝBĚR() a variační koeficienty SMODCH.VÝBĚR()/PRŮMĚR().

Denní výnosnost indexu a akcií v %

Ad a) výpočet rozptylů

Index
s2 = ∑(xi - xp)2/(n - 1)
s2 = (∑(-0,120 - 0,106)2 + (-0,030 - 0,106)2 + ... + (0,253 - 0,106)2)/(10 - 1)
s2 = 0,868/9
s2 = 0,096

Akcie A
s2 = (∑(-2,885 - 0,200)2 + (0,000 - 0,200)2 + ... + (1,923 - 0,200)2)/(10 - 1)
s2 = 18,315/9
s2 = 2,035

Ad a) výpočet směrodatných odchylek

Index
s = √s2 = √0,096 = 0,311

Akcie A
s = √s2 = √2,035 = 1,427

Chcete vědět o každém novém článku? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • CYHELSKÝ, L., KAHOUNOVÁ, J., HINDLS, R.: Elementární statistická analýza. Management Press 2001, Praha. Druhé doplněné vydání, 319 stran. ISBN 80-7261-003-1
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
Nahoru