Testování koeficientu korelace

Vysoká hodnota koeficientu korelace nemusí znamenat statisticky průkaznou závislost veličin. Aby bylo možné vztáhnout výběrovou korelaci na celou populaci, tj. mezi náhodnými veličinami X a Y existuje statisticky významná závislost, je nutné vypočtené koeficienty korelace otestovat na základě testových kritérií.

Koeficient korelace

Korelace ρ(X,Y) měří lineární závislost mezi veličinami X a Y a standardizuje hodnoty kovariance. Počítá se jako poměr kovariance C(X,Y) veličin X a Y k součinu směrodatných odchylek D(X)·D(Y) veličin X a Y.

Při výpočtu koeficientu korelace se rozlišuje populační koeficient korelace ρ_xy

ρ_x,y ... populační koeficient korelace, σ_xy ... kovariance veličin x a y, σ_x, σ_y ... směrodatné odchylky veličin x a y

a výběrový koeficient korelace r_xy

r_x,y ... výběrový koeficient korelace (n < 30), s_xy ... kovariance veličin x a y, s_x, s_y ... výběrové směrodatné odchylky veličin x a y (n < 30)

Výběrový koeficient korelace se používá k odhadu populačního protějšku pro malé rozsahy dat (n < 30). Abychom mohli řící, že je odhad r_xy věrohodný, je nutné koeficient otestovat na zvolené hladině statistické významnosti.

Koeficient korelace může nabývat hodnot na intervalu ⟨-1;+1⟩. Hodnoty blízké +1 představují silnou pozitivní závislost veličin. Naopak hodnoty blízké nule poukazují na nezávislost (nekorelovanost) veličin. A nakonec hodnoty blízké -1 představují silnou negativní závislost.

Hodnoty |r_xy| > 0,8 představují silnou korelaci veličin. Zatímco hodnoty |r_xy| < 0,3 představují slabou korelaci veličin. Slabá korelace veličin nemusí znamenat nezávislost veličin. Může mezi nimi však existovat jiná než lineární závislost.

Testové kritérium

K testování statistické významnosti korelačních koeficientů se používají testová kritéria s různým pravděpodobnostním rozdělením. Nejpoužívanější je však Studentovo rozdělení t s n - 2 stupni volnosti, které je předmětem této kapitoly.

Test o nezávislosti

Při testování statistické významnosti korelačního koeficientu je testována nulová hypotéza H₀: ρ = 0 o nezávislosti veličin X a Y proti alternativní hypotéze H₁: ρ ≠ 0 o závislosti veličin X a Y. Testovací kritérium je vyhodnocováno porovnáním absolutní hodnoty testovacího kritéria |t| s tabelovanou hodnotou t_1-α/2(n - 2).

Jestliže |t| > t_1-α/2(n - 2) je koeficient r_xy statisticky významný.
Jestliže |t| < t_1-α/2(n - 2) je koeficient r_xy statisticky nevýznamný.

Testování korelace v praxi

Následující korelační matice je sestavena z párových koeficientů korelace denní výnosnosti akciového trhu. Zeleně obarvené koeficienty korelace jsou větší než 0,4 (|r_xy| > 0,4) a představují středně silnou korelaci výnosnosti indexu a akcií.

Úkolem je otestovat koeficienty korelace r₂₁ = 0,474 a r₆₁ = 0,645 na 5% hladině statistické významnosti. Tabelovanou hodnotu t statistiky Studentova rozdělení lze vypočítat v MS Excel pomocí statistické funkce TINV(0,05;8). Vstupní data pro výpočet t statistiky jsou

První testovaný koeficient korelace r₂₁ = 0,474 reprezentuje vztah lineární závislosti mezi akcií A a trhem

Absolutní hodnota t-statistiky je nižší než tabelovaná hodnota: |t| < t → 1,521 < 2,306. Koeficient korelace je statisticky nevýznamný, tj. mezi akcií A a trhem neexistuje lineární závislost.

Další testovaný koeficient korelace r₆₁ = 0,645 reprezentuje vztah lineární závislosti mezi akcií E a trhem

Absolutní hodnota t-statistiky je vyšší než tabelovaná hodnota: |t| > t → 2,389 > 2,306. Mezi akcií E a trhem existuje statisticky průkazná pozitivní lineární závislost.