zpět na výpis    domů » statistika » Detekce autokorelace náhodné složky

Detekce autokorelace náhodné složky

Publikováno: 23.5.2018

Detekce autokorelace náhodné složky

Kapitola navazuje na Regresní přímku a Cramerovo pravidlo, kde byl odhadnut model lineární závislosti průměrné měsíční spotřeby na průměrném měsíčním příjmu spotřebitele v jednotlivých letech.

Úkolem je nyní analyzovat reziduální složku výběrové regresní přímky z hlediska sériové nezávislosti pomocí grafického vývoje v čase, autoregresního modelu procesu AR(1) a Durbin-Watsonova testu.

Testování autokorelace v praxi

V modelu regresní přímky vystupují spotřební výdaje spotřebitele jako závisle proměnná y a příjem spotřebitele jako nezávisle proměnná x. Model regresní přímky reprezentuje jednoduchý model spotřební funkce spotřebitele. Následující tabulka obsahuje realizace proměnných y a x, vyrovnané hodnoty Y a vypočtené hodnoty reziduální složky e.

Regresní funkce spotřeby a rezidua

Výběrová regresní přímka s odhady parametrů b0 a b1 má podobu

Výběrová regresní přímka

Víme, že skutečná hodnota závisle proměnné y je dána stochastickou závislostí na vyrovnané hodnotě Y a reziduální složce e

Stochastická závislost závisle proměnné

Z uvedeného vztahu dopočítáme hodnoty reziduální složky pro jednotlivé roky podle

Výpočet hodnot reziduální složky

například hodnota rezidua pro rok 2017 je

Výpočet hodnoty rezidua pro rok 2017

Získaná rezidua dále použijeme pro zobrazení grafického vývoje v čase, výpočet autokorelačního koeficientu procesu AR(1) a Durbin-Watsonova testu.

Grafická analýza reziduí

Z následujícího grafu vývoje reziduí v čase je patrné časté překřížení časové osy. Rezidua, která často střídají znaménka, jsou podezřelá z negativní autokorelace.

Graf reziduí v čase

Potvrdit či vyvrátit podezření reziduální složky z negativní autokorelace nám pomůžou následující testy.

Autokorelační koeficient ρ

Nejčastější formou autokorelační struktury náhodné složky je autokorelace prvního řádu, kterou lze popsat pomocí autoregresního procesu AR(1)

Autoregresní proces AR(1)

ρ ... autokorelační koeficient prvního řádu, ut ... normálně rozdělená náhodná složka

Je-li koeficient ρ na zvolené hladině statisticky významný, pak je náhodná složka sériově závislé. V praxi pracujeme s výběrovým odhadem r parametru ρ

Odhad autokorelačního koeficientu prvního řádu

Následující tabulka obsahuje hodnoty reziduí a upravené hodnoty reziduí pro odhad výběrového autokorelačního koeficientu prvního řádu.

Výpočet autokorelačního koeficientu AR(1) procesu

Záporná hodnota odhadu r indikuje možnost negativní autokorelace

Odhad autokorelačního parametru

Abychom mohli vyhodnotit statistickou významnost parametru r a tedy významnost autokorelace, musíme nejdříve odhadnout rozptyl reziduální složky s2

Odhad rozptylu náhodné složky autoregresního procesu AR(1)

a inverzní matici (XTX)-1, kterou vytvoříme ze zpožděných hodnot reziduální složky o jedno období (XTX)-1

Odhad inverzní matice

Standardní chybu odhadu r získáme jako odmocninu součinu s2 a (XTX)-1, kterou použijeme pro testování statistické významnosti autokorelace

Standardní chyba odhadu autokorelačního koeficientu

Na základě t-testu nyní můžeme rozhodnout o statistické (ne)významnosti odhadu autokorelačního koeficientu

Testovací statistika t-test

Absolutní hodnotu vypočteného testu porovnáme s kvantilem Studentova rozdělení t1-α/2(n - k) na 5% hladině významnosti. Hodnotu kvantilu zjistíme ve statistických tabulkách nebo v excelu pomocí funkce TINV()

Vyhodnocení t-testu pro koeficient r

Na 5% hladině významnosti zamítáme hypotézu o statistické významnosti neboli s 97,5% pravděpodobností považujeme odhad autokorelačního koeficientu za statisticky nevýznamný. Jinými slovy, hodnoty reziduální složky nejsou sériové závislé.

Výpočet Durbin-Watsonova testu

Následující tabulka obsahuje rezidua a upravená rezidua v čase t-1. Z nich pak jsou propočítány výrazy v čitateli a jmenovateli Durbin-Watsonova testu.

Výpočet Durbin-Watsonova testu reziduí
Výpočet Durbin-Watsonova testu reziduí

Výsledek Durbin-Watsonova testu je vyšší než 2. Z toho můžeme předběžně usuzovat na negativní autokorelaci reziduální složky. K přesnému posouzení výsledku použijeme tabulkové hodnoty pro dolní dL a horní dU meze, které vymezují intervaly autokorelace, nulové autokorelace a šedé zóny pro daný počet pozorování n a počet nezávisle proměnných k.

Odhad výběrové regresní přímky spotřební funkce je založen na n = 8 a k = 1. Ve statistických tabulkách jsou pro uvedené hodnoty dL = 0,76 a dU = 1,33.

Vyhodnocení Durbin-Watsonova testu

Durbin-Watsonův test potvrdil nulovou autokorelaci reziduální složky. Reziduální složka modelu tedy není sériové závislá.

Shrnutí testů reziduální složky

Z provedených testů sériové nezávislosti reziduální složky máme jednoznačný výsledek. Grafický vývoj hodnot reziduální složky v čase sice poukazoval na negativní autokorelaci, ale odhad autokorelačního koeficientu procesu AR(1) a Durbin-Watsonův test negativní autokorelaci vyvrátily.

Odhad náhodné složky regresního modelu můžeme prohlásit za sériově nezávislý. To znamená, že odhady regresních parametrů jsou nestranné a jejich rozptyly zůstávají také vydatné.

Funkce v MS Excel

  • ABS() - vrátí absolutní hodnotu
  • TINV() - tabelovaná hodnota t-statistiky
  • SOUČIN.MATIC() - vrátí součin dvou matic
  • INVERZE() - vrátí inverzní matici

Líbil se vám článek? A chcete se vědět o každém dalším?

Sledujte:

Případné připomínky, nápady a poděkování pište do komentářů.

Použité zdroje a literatura
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • JAROŠOVÁ, E., PECÁKOVÁ, I.: Příklady k předmětu statistika B. Vysoká škola ekonomická 2003, Praha. První vydání, 222 stran. ISBN 80-245-0015-9
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
Nahoru