zpět na výpis    domů » statistika » Autokorelace náhodné složky

Autokorelace náhodné složky

Publikováno: 5.5.2018

Autokorelace náhodné složky

V předchozích kapitolách byly vysvětleny postupy pro testování jednotlivých regresních parametrů a základní metody pro testování modelu jako celku. Dalším krokem statistické verifikace regresního modelu je testování odhadů náhodné složky z hlediska sériové nezávislosti, která je jedním z požadavků metody nejmenších čtverců (MNČ).

Cílem kapitoly je popis nejčastěji používaných diagnostických nástrojů pro detekci sériové závislosti, kterými jsou autoregresní model AR(1), Durbin-Watsonův test a Durbinovo h.

Náhodná vs reziduální složka

V regresní analýze základní souboru jsou hodnoty závisle proměnné yi dány stochastickou závislostí teoretické regresní funkce ηi a náhodné složky εi. Hodnoty náhodné složky jsou pak rozdíly mezi skutečnými a teoretickými hodnotami

Náhodná složka regresního modelu

Hodnoty náhodné složky však v praxi neznáme, a proto si pomáháme aproximací pomocí reziduální složky ei. Reziduální složka je produktem výběrové regresní analýzy. Je dána rozdílem mezi skutečnými hodnotami závisle proměnné yi a vyrovnanými hodnotami Yi

Reziduální složka regresního modelu

Reziduální složka je pak ovlivněna zvoleným regresním modelem odhadnutým metodou nejmenších čtverců.

Význam autokorelace náhodné složky

Autokorelace znamená závislost hodnot jedné veličiny na sobě samé. V našem případě se jedná o závislost hodnot náhodné složky εt v čase t na předchozích hodnotách εt-s v čase t-s, přičemž platí t ≠ s. Autokorelace se projevuje zejména v čase. Existenci autokorelace náhodné složky lze řešit pomocí metody zobecněných nejmenších čtverců.

Nejčastější forma autokorelační struktury je autokorelace prvního řádu. To znamená, že hodnoty náhodné složky εt jsou závislé na bezprostředně předcházejících hodnotách εt-1. Existují i autokorelace vyššího řádu, ale ty nejsou předmětem kapitoly.

Požadavky MNČ na náhodnou složku

Klasickými požadavky metody nejmešních čtverců jsou sériová nezávilost náhodné složky a konstatní a konečný rozptyl náhodné složky. Oba požadavky můžeme shrnout do jednoho z předpokladů MNČ ve vektorovém tvaru

Sériová nezávislost a konečný a konstantní rozptyl náhodné složky

σ2 ... rozptyl náhodné složky, I ... jednotková matice

Pro jednoduchost si uvedený předpoklad MNČ rozepíšeme na tříprvkovém vektoru ε. Střední hodnota součinu vektoru ε a transponovaného vektoru εT představuje kovarianční matici, kterou můžeme dále upravit jako jako součin konstatního rozptylu a jednotkové matice

Kovarianční matice náhodné složky

Kovarianční matice je symetrická a obsahuje párové koeficienty kovariance, které vyjadřují míru lineární závislosti mezi dvěmi veličinami. Požadavkem je, aby kovariance mimo diagonálu matice byly nulové. Nulové kovariance představují nezávislost veličin.

Na hlavní diagonále kovarianční matice leží konstantní rozptyl náhodné složky. Platí totiž, že kovariance stejné veličiny je rovna jejímu rozptylu E(εtεt) = σ2. Vytknutím konstantního rozptylu σ2 z kovarianční matice získáme matici jednotkovou.

Příčiny a důsledky autokorelace

Nejčastějšími příčinami autokorelace náhodné složky bývají setrvačnost ve vývoji ekonomických časových řadách, chybná specifikace modelu a zahrnutí zpožděné endogenní a exogenní proměnné mezi vysvětlující proměnné modelu.

Je-li porušen požadavek sériové nezávislosti náhodné složky, nemají odhady MNČ parametrů β optimální vlastnosti. Odhady MNČ sice zůstávají nestranné, ale jejich rozptyl již není minimální a tedy nejsou vydatné, ani asymptoticky vydatné (n → ∞). V takovém případě se nemůžeme na odhadnutý model spolehnout a použít pro předpovědi modelu.

Identifikace autokorelace

Autokorelaci prvního řádu lze identifikovat pomocí grafického vývoje reziduální složky v čase. Potvrdit či vyvrátit existenci autokorelace však můžeme až na základě testovacích statistik, kterými jsou například autokorelační koeficient procesu AR(1), Durbin-Watsonův test a jeho modifikace.

Autoregresní model AR(1)

Je-li náhodná složka εt determinována bezprostředně předcházející hodnotou εt-1, pak je generována autoregresním procesem AR(1)

Detekce autokorelace 1. řádu.

ρ ... koeficient autokorelace prvního řádu, ut ... normálně rozdělená náhodná složka

Je-li parametr ρ = 0, pak náhodná složka vykazuje sériovou nezávislost, ρ = 1 vyjadřuje pozitivní autokorelaci a ρ = -1 negativní autokorelaci.

V praxi neznámý parametr ρ odhadujeme jako výběrový autokorelační koeficient r procesu AR(1) na základě reziduální složky

Odhad autokorelačního koeficientu náhodné složky prvního řádu

r ... výběrový odhad autokorelačního koeficientu ρ, et ... hodnota rezidua v čase t, et-1 ... hodnota rezidua v čase t-1

Odhad autokorelačního parametru se provádí standardně pomocí metody nejmenších čtverců. Odhadovou funkcí r získáme na základě parciální derivace minimalizačního kritéria

Odhadová fánkce autokorelačního koeficientu

K posouzení statistické (ne)významnosti autokorelačního koeficientu a tím pádem (ne)významnosti autokorelace reziduí je nutné odhadnout kovarianční (rozptylovou) matici odhadové funkce r

Kovarianční matice odhadové funkce r

S(r) ... kovarianční matice, s2 ... rozptyl reziduální složky, (XTX)-1 ... inverzní matice vypočtená z hodnot et-1

a rozptyl reziduální složky autoregresního modelu

Rozptyl autokorelačního koeficient procesu AR(1)

Odmocniny diagonálních prvků kovarianční matice S(r) jsou odhady standardních chyb s(r) regresních parametrů, které se používají k testování statistické významnosti

Standardní chyba odhadu r

Je třeba upozornit, že matice (XTX) a tedy i inverzní matice (XTX)-1 v autoregresním modelu procesu AR(1) jsou řádu n = 1, tj. jednoprvkové matice.

Odhadnutou standardní chybu odhadu r pak využijeme k testování statistické významnosti pomocí t-testu, který má Studentovo rozdělení t

T-test parametru r

Durbin-Watsonův test

Autokorelace prvního řádu se nejčastěji testuje pomocí Durbin-Watsonova testu, který se označuje jako d nebo DW test. DW test bývá součástí běžných ekonometrických softwarů (např. Gretl).

DW test není použitelný pro regresní modely bez úrovňové konstanty a modely se zpožděnou závisle proměnnou mezi vysvětlujícími proměnnými.

Durbin-Watsonova statistika

kde et je hodnota rezidua v čase t, et-1 je hodnota rezidua a v čase t-1

DW statistika má symetrické rozdělení se střední hodnotou E(d) = 2. Hodnoty v její blízkosti představují sériovou nezávislost náhodné složky. Hodnoty blízké 0 představují pozitivní autokorelaci náhodné složky a hodnoty blízké 4 představují negativní autokorelaci.

K přesnému posouzení výsledků testovací statistiky d se používají tabulkové hodnoty, které vymezují intervaly pozitivní a negativní autokorelace, interval nulové autokorelace a intervaly šedé zóny (neprůkaznosti). Dolní dL a horní dU meze jsou koncipovány pro počet pozorování n a počet nezávisle proměnných k.

Například pro n=8 a k=1 jsou dL = 0,76 a dU = 1,33.

Vyhodnocení Durbin-Watsonova testu

Durbinovo h

Je-li do regresního modelu mezi nezávisle proměnné zahrnuta zpožděná závisle proměnná yt-1, pak ztrácí statistika d na síle. V takovém případě se pro testování sériové závislosti odhadnuté náhodné složky používá modifikovaný test Durbinovo h.

Durbinovo h

d ... Durbin-Watsonova statistika, T ... počet pozorování, sbj2 ... odhad rozptylu parametru bj zpožděné závisle proměnné

Líbil se vám článek? A chcete se vědět o každém dalším?

Sledujte:

Případné připomínky, nápady a poděkování pište do komentářů.

Použité zdroje a literatura
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • JAROŠOVÁ, E., PECÁKOVÁ, I.: Příklady k předmětu statistika B. Vysoká škola ekonomická 2003, Praha. První vydání, 222 stran. ISBN 80-245-0015-9
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
  • Wikipedia. Autokorelace [on-line] [cit. 2018-01-31]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Autokorelace
Nahoru