zpět na výpis    domů » statistika » Optimalizace funkce tržeb firmy

Optimalizace funkce tržeb firmy

Publikováno: 1.7.2017

Optimalizace funkce tržeb firmy

Cílem příspěvku je optimalizace funkce tržeb firmy operující v prostředí nedokonalé konkurence. Na základě teoretických dat je odhadnuta mikroekonomická funkce tržeb firmy, která má kvadratický tvar. V modelu vystupují tržby jako závisle proměnná y a množství prodané produkce jako nezávisle proměnná x.

Nedokonale konkurenční trh

Firma prodává své výrobky na nedokonale konkurenčním trhu. To znamená, že má určitou kontrolu nad cenou produkce. Jinými slovy, může zvýšit prodej výrobků snížením ceny. Zda však budou celkové tržby růst nebo klesat závisí na cenové elasticitě poptávky pro produkci firmy. Firmy v odvětví vyrábí diferencovaný produkt, existují překážky vstupu do odvětví a ekonomické subjekty mají k dispozici rozdílnou úroveň informací.

Základní pojmy z mikrokonomie

Celkové tržby představují sumu peněz, které firma získá prodejem svých výrobků a služeb.

Celkové tržby firmy

TR ... celkové tržby, P ... cena, Q ... množství prodaných výrobků a služeb

Mezní tržby představují změnu celkových tržeb v důsledku změny prodané produkce o jednotku.

Mezní tržby firmy

MR ... mezní tržby, Δ ... delta ... symbol pro změnu

Průměrné tržby představují celkové tržby připadající na jednotku prodané produkce.

Průměrné tržby firmy

AR ... průměrné tržby

Bodový graf tržeb

Průběh závislosti dvou proměnných můžeme zobrazit graficky, z čehož můžeme zvolit správný tvar regresní funkce. Následující tabulka obsahuje počet pozorování n, objem prodané produkce Q, jednotkovou cenu P a celkové tržby firmy TR.

Vývoj tržeb firmy
nQPTR
10,020,00,0
24,019,076,0
38,016,0128,0
410,014,0140,0
515,013,0195,0
623,011,0253,0
732,88,0262,4
841,07,0287,0
946,06,0276,0
1068,05,0340,0
1184,04,0336,0
1285,03,0285,0
13100,02,0200,0
14105,01,0105,0
15131,00,565,5
16135,00,113,5

Zajímá nás vztah objemu prodané produkce Q a celkových tržeb TR, které jsou dány součinem prodané produkce a ceny. S poklesem ceny dochází k růstu objemu prodané produkce a růstu celkových tržeb firmy. Od určitého bodu však dochází k poklesu celkových tržeb. Z uvedeného průběhu i z bodového grafu lze usoudit, že vývoj celkových tržeb v závislosti na prodaném množství výrobků má parabolický tvar.

Bodový graf tržeb

To však není překvapující, neboť z mikroekonomické teorie je známo, že celkové tržby firmy v prostředí nedokonalé konkurence mají tvar paraboly a koeficientem a < 0.

Bodové odhady parametrů modelu

Hledáme bodové odhady b0, b1, ..., bk neznámých parametrů β0, β1, ..., βk parabolické regresní funkce

Kvadratická funkce celkových tržeb firmy

Parametry soustavy normálních rovnic lze odhadnout pomocí Cramerova pravidla nebo bodové odhadové funkce v maticovém vyjádření b = (XTX)-1XTy. Výsledná parabolická rovnice s bodovými odhady regresních parametrů má následující tvar:

Odhad kvadratické regrese - tržby firmy

Testování kvality regresního modelu

K testování statistické průkaznosti odhadů regresních parametrů se používá t-test. Vyhodnocení probíhá porovnáním absolutní hodnoty vypočtených t a tabelovaných hodnot, které získáte ze statistických tabulek nebo pomocí excelovské funkce TINV(). Na 5% hladině významnosti vychází tabelovaná hodnota 2,16.

Odhady a verifikace regresních parametrů
Parametrbjs(bj)tp-value
est β054,88722,1222,4810,028
est β18,3279,169,090,000
est β2-0,0650,007-9,4750,000

Jelikož vypočtené hodnoty t-testu převyšují tabelované hodnoty můžeme zamítnout nulovou hypotézu H0 o statistické nevýznamnosti odhadů regresních parametrů ve prospěch alternativní hypotézy H1 o jejich statistické významnosti.

Hodnota p-value vyjadřuje nejnižší možnou hladinu významnosti, na které ještě lze zamítnout nulovou hypotézu o nevýznamnosti regresních parametrů. Například nulovou hypotézu parametru b0 lze zamítnout ještě na 2,8% hladině významnosti. Hodnoty p-value vypočítáte například pomocí excelovské funkce TDIST().

Graf vyrovnaných tržeb vs prodané produkce

Koeficient determinace říká, že se nám pomocí modelu podařilo vysvětlit 87,36 % variability celkových tržeb.

Testování reziduální složky

Autokorelace reziduální složky je nejčastěji testována na základě Durbin-Watsonovy statistiky označované jako d. Pro přesné posouzení autokorelace zařadíme vypočtenou hodnotu d do intervalu pozitivní autokorelace, nulové autokorelace, negativní autokorelace nebo šedé zóny. Uvedené intervaly jsou vymezeny tabelovanými hodnotami dL a dU, které získáte ze statistických tabulek.

Na 5% hladině významnosti jsou pro n = 16 a k = 2 základní tabelované hodnoty pro šedou zónu dL = 0,98 a dU = 1,54.

Intervaly autokorelace reziduální složky

Na základě vypočtené statistiky d = 1,562 můžeme vyloučit autokorelaci reziduální složky, neboť se nachází v intervalu nulové autokorelace.

Maximalizace celkových tržeb

Z odhadnutého modelu celkových tržeb můžeme nyní vypočítat optimální množství prodané produkce, při kterém jsou maximalizovány celkové tržby.

První derivací odhadnuté funkce celkový tržeb získáme funkci mezních tržeb, ze které dopočítáme Q maximalizující tržby

Optimální tržby firmy v nedokonalé konkurenci

Maximální úrovně celkových tržeb ve výši 322 peněžních jednotek je dosaženo při prodeji 64 jednotek produkce s cenou 5 peněžních jednotek za kus.

Optimální množství produkce firmy v nedokonalé konkurenci

Úprava regresního modelu

Z odhadnutého regresního modelu vyplývá, že při nulovém prodeji produkce firma vydělá 54,9 peněžních jednotek. To nedává smysl a je potřeba upravit tvar regresní funkce. Odhadneme kvadratickou funkci bez úrovňové konstanty, tj. b0 = 0. Graf paraboly nyní bude procházet počátkem.

Graf vyrovnaných tržeb vs prodané produkce

První derivací regresního modelu bez úrovňové konstanty vypočteme mezní tržby a vyjádříme Q

Optimální tržby firmy v nedokonalé konkurenci

Firma maximalizuje tržby při objemu prodeje Q = 66 a zaokrouhlené ceně P = 5.

Optimální množství produkce firmy v nedokonalé konkurenci

Odhad kvadratické regrese bez úrovňové konstanty má sice nižší koeficient determinace R2, avšak lépe vyhovuje z hlediska logiky.

Funkce v MS Excel

  • ABS() - vrátí absolutní hodnotu
  • TINV() - tabelovaná hodnota t-statistiky
  • TDIST() - hladina významnosti parametru modelu
  • FINV() - tabelovaná hodnota F-testu
  • FDIST() - hladina významnosti modelu jako celku

Líbil se vám článek? A chcete se vědět o každém dalším?

Sledujte:

Případné připomínky, nápady a poděkování pište do komentářů.

Seznam použité literatury
  • DUFEK, J.: Ekonometrie. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2003, Brno. První vydání, 136 stran. ISBN 80-7157-654-9
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. Základní kurs. MELANDRIUM 2002, Slaný. Sedmé vydání, 271 stran. ISBN 80-86175-20-0
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. REPETITORIUM středně pokročilý kurz. MELANDRIUM 2007, Slaný. Páté vydání, 239 stran. ISBN 978-80-86175-57-7
Nahoru