Geometrický průměr vzorec a příklady

Většina lidí zná velmi dobře arimetický průměr, kterým se počítá například průměrná hrubá mzda v České republice. Již děti na základních školách hojně využívají aritmetický průměr k výpočtu průměrné známky.

Na druhou stranu je velmi málo lidí, kteří znají geometrický průměr nebo ví, k čemu se používá. Proto jsem se rozhodnul napsat příspěvek o geometrickém průměru, který se velmi intenzivně používá v makroekonomii k výpočtu průměrného tempa růstu sledované veličiny.

Vzorec a využití

Geometrický průměr je statistická veličina, která je definována jako n-tá odmocnina součinu nezáporných čísel x₁, x_., ..., x_n

∏ ... symbol pro součin hodnot

Geometrický průměr se používá k výpočtu průměru zřetězených růstových charakteristik v čase. Jinými slovy jej lze aplikovat na koeficienty růstu dané veličiny pro výpočet průměrného tempa růstu.

Tímto způsobem lze počítat průměrné tempo růstu HDP, hrubé mzdy v ekonomice, devizového kurzu, zisku firmy apod.

Výpočet průměrného růstu HDP v ČR

Praktický výpočet geometrického průměru demostruji na vývoji hrubého domácího produktu ve stálých (reálných) cenách v České republice. Cílem je zjistit průměrné tempo růstu reálného HDP.

Prvním krokem je výpočet koeficientů růstu k_t pro jednotlivá období. Koeficient růstu je poměr 2 po sobě jdoucích hodnot dané veličiny

S použitím koeficientu růstu dopočítáme relativní tempo růstu δ sledované veličiny

vynásobíme δ 100, čímž získáme výsledek v procentech

Uvedeným způsobem se postupuje pro výpočet tempa růstu pro jednotlivá období. Chceme-li získat průměrné tempo růstu za delší časové období aplikujeme geometrický průměr na všechny koeficienty růstu.

Následující tabulka obsahuje reálné hodnoty HDP v miliónech Kč, vypočtené koeficienty růstu a meziroční tempa růstu HDP v procentech.

Reálné HDP ČR (2004 - 2014)
Rok	HDP	k	δ(%)
2004	3 293 905	-	-
2005	3 506 107	1,064	6,442
2006	3 747 206	1,069	6,877
2007	3 954 399	1,055	5,529
2008	4 061 601	1,027	2,711
2009	3 864 947	0,952	- 4,842
2010	3 953 651	1,023	2,295
2011	4 031 404	1,020	1,967
2012	3 995 109	0,991	- 0,900
2013	3 974 008	0,995	- 0,528
2014	4 052 620	1,020	1,978

N-tá odmocnina se volí podle počtu koeficientů růstu. Údaje o HDP jsou sice za 11 let (n), ale koeficientů růstu je pouze 10 (n-1).

Nyní můžeme přistoupit k výpočtu průměrného koeficientu růstu podle vzorce pro geometrický průměr

a průměrnému tempu růstu v procentech

Reálné HDP České republiky rostlo v období 2004 - 2014 průměrným meziročním tempem 2,1 %.

Funkce v MS Excel

GEOMEAN() - vrátí geometrický průměr

CVIČENÍ

Uzavírací cena (close) akcie ČEZ na Burze cenných papírů Praha (BCPP) byla k 1.1.2017 430 Kč. V následujících 5 měsících byla uzavírací cena vždy k poslednímu dni v měsíci 428,9; 450,5; 436; 430,2 a 446 Kč. Jaký je průměrný růst ceny akcie za uvedené období?
Průměrné tempo růstu čistého zisku akciové společnosti v letech 2010 - 2016 bylo 4 % ročně. V roce 2010 bylo dosaženo čistého zisku 278 mil. Kč. Jaké výše čistého zisku bylo dosaženo za rok 2016?

x_G = ⁵√ (0,997 · 1,050 · 0,968 · 0,987 · 1,037) = 1,007334 ⇒ 0,73 %
⁷√(x₂₀₁₆/278) = 1,04 ⇒ 365,8 mil. Kč