Koeficienty kovariance a korelace

Kovariance a korelace vyjadřují míru vzájemné závislosti veličin/proměnných. Používají se například v regresní analýze ke kvantifikaci vzájemné závislosti proměnných, kvality regresního modelu a výpočtu koeficientu beta cenných papírů. Ve finanční teorii májí široké uplatnění zejména v moderní teorii portfolia cenných papírů.

Kovariance

Kovariance C(X,Y) je statistická charakteristika, která určuje vzájemnou závislost veličin X a Y. Je definována jako střední hodnota součinu odchylek veličin X a Y od jejich středních hodnot

E(X), E(Y) ... střední hodnoty veličin

Kovariance může nabývat hodnot na intervalu ⟨-∞,+∞⟩. Na základě vypočtené kovariance můžeme posoudit vzájemnou závislost následujícím způsobem:

• C(X,Y) > 0 - veličiny X a Y se pohybují stejným směrem (současně rostou nebo klesají)
• C(X,Y) = 0 - veličiny X a Y jsou navzájem nezávislé
• C(X,Y) < 0 - mezi veličinami X a Y je inverzní vztah (jedna roste a druhá klesá a naopak)

V praxi rozlišujeme kovarianci základního souboru (populace) σ_xy

σ_xy ... populační koeficient kovariance, s_xy ... výběrový koeficient kovariance (n < 30), x, y... prosté aritmetické průměry veličin X a Y n ... počet pozorování

a výběrovou kovarianci s_xy, která se používá pro odhad populační kovariance při malém rozsahu dat (n < 30)

Při zjišťování závislosti mezi více než 2 veličinami jsou jednotlivé párové kovariance uspořádány do kovarianční matice C. Kovarianční matice je symetrická matice s diagonálními prvky rovny rozptylu jednotlivých veličin. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty kovariance.

Důkaz rovnosti kovariance σ₁₁ na diagonále kovarianční matice a rozptylu σ² pro vybranou proměnnou x₁ je následující

Korelační koeficient

Korelace ρ(X,Y) měří lineární závislost mezi veličinami X a Y. Korelační koeficient standardizuje kovarianci a výsledkem jsou hodnoty na intervalu ⟨-1; 1⟩. Korelace je vyjádřena jako poměr kovariance k součinu směrodatných odchylek veličin X a Y.

D²(X), D²(Y) ... rozptyly náhodných veličin X a Y, D(X), D(Y) ... směrodatné odchylky náhodných veličin X a Y

Význam výsledných hodnot koeficientů korelace:

• ρ(X,Y) = 1 - mezi veličinami X a Y existuje dokonalá přímá závislost
• ρ(X,Y) = 0 - veličiny X a Y nejsou korelované
• ρ(X,Y) = -1 - mezi veličinami X a Y je dokonalý inverzní vztah

Základní koeficient korelace, který měří lineární závislost mezi 2 proměnnými, se nazývá párový korelační koeficient. Rozlišujeme koeficient korelace základního souboru (populace) ρ_x,y

σ_xy ... kovariance veličin X a Y, σ_x, σ_y ... směrodatné odchylky veličin X a Y

a výběrovou korelaci r_x,y, která se používá jako odhad korelace základního souboru v případě malého rozsahu dat (n < 30)

s_xy ... výběrová kovariance veličin X a Y, s_x, s_y ... výběrové směrodatné odchylky veličin X a Y (n < 30)

V případě zkoumání lineární závislosti mezi více než 2 proměnnými jsou párové korelační koeficienty uspořádány do korelační matice (ρ). Korelační matice je symetrická matice s diagonálními prvky rovny 1. Prvky mimo diagonálu představují párové koeficienty korelace.

Jestliže jsou korelační koeficienty mimo diagonálu nulové je korelační matice rovna jednotkové matici (I). Důkaz rovnosti korelačního koeficientu ρ₁₁ na diagonále korelační matice a 1 pro vybranou proměnnou x₁ je následující