zpět na výpis    domů » finance » Jednoduché a složené úročení

Jednoduché a složené úročení

Publikováno: 21.4.2017

Jednoduché a složené úročení

Jednoduché a složené úročení jsou pilíře, na kterých stojí finanční matematika. Setkáme s nimi u jednoduchých výpočtů typu zhodnocení investovaného kapitálu až po oceňování dluhopisů, akcií a celých společností.

Jednoduché úročení je způsob úročení, kdy jsou úroky počítány pouze z investovaného kapitálu

Jednoduché úročení

Naopak při použití složeného úročení jsou úroky počítány z investovaného kapitálu a navíc z připsaných úroků za předchozí úrokové období

Složené úročení

PV ... současná hodnota kapitálu, FV ... budoucí hodnota kapitálu, i ... roční úroková sazba, n ... doba splatnosti (pro jednoduché úročení n = t/360), m ... počet úrokových období za 1 rok (frenkvence úročení)

Úročení kapitálu

Okamžik připsání úroků

Podle okamžiku připsání úroků se můžete setkat s termínem polhůtní úročení, při kterém jsou úroky počítány ze současné hodnoty a připisují se na konci úrokového období.

Anebo s předlhůtním úročením, kdy jsou úroky počítány z budoucí hodnoty a připisují se na počátku úrokového období (typické pro eskont směnky).

V následujícím textu je uvažováno pouze polhůtní úročení, které je v praxi běžnější.

Časová hodnota peněz

Současná a budoucí hodnota kapitálu souvisí s časovou hodnotou peněz. Vychází z předpokladu, že jedna koruna dnes má vyšší kupní sílu než jedna koruna v budoucnu. Pokud se tedy investor vzdá své současné spotřeby a peníze investuje náleží mu odměna, která pokles kupní síly kompenzuje. Rozdíl mezi současnou a budoucí hodnotou kapitálu se nazývá úrok.

Úrok by měl zohledňovat znehodnocení peněz v důsledku inflace a rizikové přiřážky stanovených na základě rizikovosti investice.

Jednoduché a složené úročení

Rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením nejlépe pochopíte na následujícím příkladě. Klient banky disponuje volnými peněžními prostředky ve výši 1 000 Kč, které by rád uložil v bance. Banka nabízí termínový účet s dobou splatnosti 4 roky a roční úrokovou sazbou 20 %. Úroky jsou připisovány ročně. Zdanění úrokových výnosů není uvažováno.

Výpočet budoucí hodnoty vkladu
Jednoduché úročeníSložené úročeníRozdíl
FV0 = 1 000FV0 = 1 000
FV1 = 1 000 · (1 + 0,20 · 1) = 1 200FV1 = 1 000 · (1 + 0,20)1 = 1 2000
FV2 = 1 000 · (1 + 0,20 · 2) = 1 400FV2 = 1 000 · (1 + 0,20)2 = 1 440-40
FV3 = 1 000 · (1 + 0,20 · 3) = 1 600FV3 = 1 000 · (1 + 0,20)3 = 1 728-128
FV4 = 1 000 · (1 + 0,20 · 4) = 1 800FV4 = 1 000 · (1 + 0,20)4 = 2 074-274

Pokud bychom u banky uložili částku 1.000 Kč na jeden rok s ročním úrokovým obdobím, získali bychom v obou způsobech úročení stejné zhodnocení ve výši 200 Kč.

Pokud bychom uložili 1.000 Kč na dva roky s ročním úrokovým obdobím, získali bychom v případě jednoduchého úročení každý rok 200 Kč, tj. celkem 400 Kč. Ale v případě složeného úročení bychom získali 1.440 Kč, tj. o 40 Kč více. Důvodem je skutečnost, že v případě složeného úročení se úroky počítají i z připsaných úroků na účet, tj. z částky 1.200 Kč po prvním roce.

Analogickým způsobem bychom postupovali i ve třetím a čtvrtém roce úročení.

Z následujícího obrázku i předešlého výpočtu by mělo být patrné, že úroky u složeného úročení rostou exponenciálně, zatímco co u jednoduchého úročení lineárně.

Úroky z jednoduchého a složeného úročení

Současná hodnota kapitálu

Dosud jsme uvažovali základní vztahy jednoduchého a složeného úročení pro výpočet budoucí hodnoty kapitálu. Uvedené vztahy fungují i opačným směrem, tj. v případech, kdy chceme přepočítat budoucí hodnotu kapitálu na současnou hodnotu.

Vyjádřením současné hodnoty PV z obou vzorců získáme pro jednoduché úročení vztah

Současná hodnota kapitálu - jednoduché úročení

a složené úročení

Současná hodnota kapitálu - složené úročení

Typickým příkladem je, kolik bychom dnes měli uložit v bance při daných parametrech úročení, jestliže v budoucnu budeme potřebovat určitou konkrétní částku na úhradu dluhu či nákup spotřební věci apod.

Převod budoucí hodnoty kapitálu na současnou se označuje jako diskontování, které se například používá pro hodnocení investic pomocí metody Čisté současné hodnoty.

Česko-anglický slovník

  • současná hodnota - Present Value (PV)
  • budoucí hodnota - Future Value (FV)
  • roční úroková sazba - interest rate per year
  • jednoduché úročení - simple interest
  • složené úročení - compound interest
  • počet úrokových období za 1 rok - number of compounding interest frequency per year

Líbil se vám článek? A chcete se vědět o každém dalším?

Sledujte:

Případné připomínky, nápady a poděkování pište do komentářů.

Seznam použité literatury
  • RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P.: Finanční matematika pro každého. GRADA Publishing 2003, Praha. Čtvrté rozšířené vydání, 260 stran. ISBN 80-247-0473-0
  • REJNUŠ, O.: Peněžní ekonomie (Finanční trhy). Vysoké účetní technické v Brně. Fakulta podnikatelská 2008, Brno. Vydání čtvrté aktualizované, 352 stran. ISBN 978-80-214-3703-6
  • REVENDA, Z., MANDEL, M., KODERA, J., MUSÍLEK, P., DVOŘÁK, P., BRADA, J.: Peněžní ekonomie a bankovnictví. Management Press 2004, Praha. Třetí vydání, 634 stran. ISBN 80-7261-031-7
Nahoru