zpět na výpis    domů » matematika » Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Publikováno: 21.6.2017

Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Logaritmická funkce je dána předpisem

Logaritmická funkce

kde y je závisle proměnná, a je základ logaritmu a x je nezávisle proměnná. Předpis logaritmické funkce se čte jako logaritmus čísla x o základu a. Základ logaritmu a musí být větší než nula a zároveň různý od jedné

Podmínky kladené na základ logaritmu

Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka. Graf logaritmické funkce prochází bodem Q[1,0]. Pro základ a > 1 je křivka rostoucí a pro 0 < a < 1 je klesající.

Graf logaritmické funkce

Logaritmická funkce je inverzní funkcí k exponenciální funkci, proto musí platí následující ekvivalence

Ekvivalence logaritmické a exponenciální funkce

Definiční obor logaritmické funkce je ohraničen nulou a plus nekonečném, přičemž oborem funkčních hodnot je množina všech reálných čísel

Definiční obor a obor funkčních hodnot logaritmické funkce

Z následujícího grafu je patrné, že definičním oborem exponenciální funkce y = ax je množina všech reálných čísel a obor funkčních hodnot je omezen nulou a plus nekonečném. Je to přesně naopak než u logaritmické funkce. To je dáno tím, že se jedná o inverzní funkce.

Exponenciální versus logaritmická funkce

Logaritmická funkce je ryze monotónní funkce, neboť je rostoucí nebo klesající v celém definičním oboru. Funkce není omezená shora ani zdola, a nemá maximum ani minimum.

Vzorce a věty o logaritmech

Pro výpočet logaritmů se používají následující definiční vztahy a věty o logaritmech

Věty o logaritmech a vzorce

První tři příklady vycházejí z ekvivalentního vztahu logaritmické a exponenciální funkce. Na dalších příkladech jsou demonstrovány věty o logaritmech.

Příklady o logaritmech

Speciální druhy logaritmů

Logaritmus o základu 10 se nazývá desítkový nebo dekadický logaritmus a zapisuje se jako log x.

Logaritmus o základu e se nazývá přirozený logaritmus a označuje se jako ln x. Základem přirozeného logaritmu je Eulerova konstanta, která je přibližně rovna 2,71828. Právě přirozený logaritmus se velmi často používá v ekonomii a finanční teorii.

Dalším typem logaritmu je binární logaritmus o základu 2, který se používá v informatice.

Aplikace přirozeného logaritmu

Přirozený logaritmus se používá například v analýze časových řad k aproximaxi malých relativních změn sledované veličiny. Relativní změnu ceny Pt finančního aktiva můžeme vyjádřit

Aproximace relativní změny veličiny pomocí přirozeného logaritmu

Pt ... cena aktiva v čase t, Pt-1 ... cena aktiva v čase t-1, Δ ... delta ... znak pro absolutní změnu

Dejme tomu, že v posledních dvou obchodních dnech akcie uzavřela na cenách Pt = 10,5 a Pt-1 = 10. Úkolem je odhadnout relativní změnu ceny akcie pomocí přirozeného logaritmu.

Aproximace relativní změny tržní ceny akcie

Odhad relativní změny ceny akcie pomocí přirozeného logaritmu je 4,9 %. Výpočet relativní změny klasickým způsobem je 5 %.

Semilogaritmický model

Přirozený logaritmus je běžně využíván v ekonometrii ke zlinearizování exponenciálních modelů, v semilogaritmických modelech, ve kterých relativní změna závisle proměnné závisí na absolutní změně nezávisle proměnné atd.

Průměrné tempo růstu sledované veličiny se standardně počítá pomocí geometrického průměru. Další možností je odhad tempa růstu pomocí funkce v logaritmicko-lineárním tvaru. Například tempo růstu HDP můžeme odhadnout pomocí modelu

Semilogaritmický tvar funkce HDP

βj ... parametry funkce, t ... časová proměnná, εt ... chyba odhadu

Pomocí metody nejmenších čtverců pak získáme odhad parametrů ekonometrického modelu

Odhad tempa růstu HDP

Odhad parametru β2 říká, že HDP ve sledovaném období rostlo průměrným temptem 1,6 % ročně.

Funkce v MS Excel

  • LOGZ(číslo; [základ]) - vrátí logaritmus čísla při zadaném základu
  • LOG(číslo) - vrací dekadický logaritmus
  • LN(číslo) - vrací přirozený logaritmus

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • DVOŘÁKOVÁ, Š., MOŠNA, F.: Matematika I. Česká zemědělská univerzita v Praze 2015, Praha. První vydání, 93 stran. ISBN 978-80-213-2586-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
  • ODVÁRKO. O.: Matematika pro gymnázia. Funkce. Prometheus 1993, Praha. Dotisk čtvrtého vydání, 168 stran. ISBN 978-80-7196-357-8
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • SEIBERT, J., KOLDA, S.: Úvod do studia matematiky na Univerzitě v Pardubicích. Univerzita Pardubice 2004, Pardubice. Deváté vydání, 87 stran. ISBN 80-7194-423-8
Nahoru