zpět na výpis    domů » matematika » Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Publikováno: 21.6.2017

Logaritmická funkce a výpočet logaritmu

Logaritmická funkce je dána předpisem y = f(x) = logax, kde y je závisle proměnná, a je základ a x je nezávisle proměnná. Přičemž platí, že základ a musí být větší než nula a zároveň různý od jedné (a > 0 ∧ a≠1). Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka.

Funkční předpis f(x) = logax se čte jako logaritmus čísla x o základu a.

Graf logaritmické funkce prochází body [1; 0]. Pro a > 1 je logaritmická křivka rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající.

Graf logaritmické funkce

Logaritmická funkce f(x) = logax je inverzní funkcí k exponenciální funkci f(x) = ax.

Exponenciální versus logaritmická funkce

Vlastnosti logaritmické funkce

Definiční obor funkce je dán intervalem D(f) = (0; +∞). Oborem funkčních hodnot je množina všech reálných čísel H(f) = R.

Logaritmická funkce je ryze monotónní funkce, neboť je rostoucí nebo klesající na celém definiční oboru funkce. Funkce není omezená shora ani zdola. Nemá maximum ani minimum.

Pro a > 1 je funkce rostoucí a pro 0 < a < 1 je klesající.

Vzorce a věty o logaritmech

Věty o logaritmech a vzorce

Výpočet logaritmů

Příklady o logaritmech

Speciální druhy logaritmů

Logaritmus o základu 10 se nazývá desítkový nebo dekadický logaritmus a zapisuje se jako log x.

Logaritmus o základu e se nazývá přirozený logaritmus a označuje se jako ln x. Základem přirozeného logaritmu je Eulerova konstanta e ≈ 2,71828. Právě přirozený logaritmus se velmi často používá v ekonomii a finanční teorii. Používá se například při analýze časových řad k aproximaxi malých relativních změn dané veličiny.

Aproximace relativní změny veličiny pomocí přirozeného logaritmu

Pt ... cena aktiva v čase t
Pt-1 ... cena aktiva v čase t-1
Δ ... delta ... znak pro absolutní změnu

Z výše uvedeného vyplývá, že k odhadu relativní změny mohou být použity 2 způsoby. Prvním způsobem je výpočet koeficientů růstu a poté aplikovat přirozený logaritmus. Ve druhé variantě se zlogaritmuje celá časová řada a poté se spočítají první diference.

Příklad

Jsou dány ceny aktiva Pt = 12 a Pt-1 = 10. Úkolem je odhadnout relativní změnu ceny aktiva pomocí přirozeného logaritmu.

Aproximace relativní změny veličiny pomocí přirozeného logaritmu

Dalším typem logaritmu je binární logaritmus o základu 2, který se používá zejména v informatice.

Logaritmus v MS Excel

= LOGZ(číslo; [základ]) ... vrací logaritmus čísla při zadaném základu
= LOG(číslo) ... vrací dekadický logaritmus
= LN(číslo) ... vrací přirozený logaritmus

Aplikace logaritmu v ekonometrii

Přirozený logaritmus se v ekonometrii běžně používá ke zlinearizování exponenciálních modelů. Logaritmická transformace se používá také v semilogaritmických modelech, ve kterých relativní změna závisle proměnné závisí na absolutní změně nezávisle proměnné a naopak.

V kapitole Geometrický průměr v příkladech je proveden výpočet průměrného tempa růstu HDP v České republice. Na stejných datech je odhadnuta funkce v logaritmicko-lineárním tvaru lnHDPt = β1 + β2t + ε, kde t je časová proměnná.

Pomocí metody nejmenších čtverců je získán odhad lnHDPt = 15,069 + 0,016t. Odhad parametru β2 říká, že při absolutní změně času t o 1 jednotku vzroste HDP průměrně o 1,6 % ročně.

Chcete vědět o každém novém článku? Sledujte Finance v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • SEIBERT, J., KOLDA, S.: Úvod do studia matematiky na Univerzitě v Pardubicích. Univerzita Pardubice 2004, Pardubice. Deváté vydání, 87 stran. ISBN 80-7194-423-8
  • Wikipedie. Logaritmus [on-line] [cit. 2017-06-21]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Logaritmus
Nahoru