zpět na výpis    domů » statistika » Vlastnosti odhadové funkce MNČ

Vlastnosti odhadové funkce MNČ

Publikováno: 20.6.2017

Vlastnosti odhadové funkce MNČ

Dříve než se dostaneme k vlastnostem odhadové funkce metody nejmenších čtverců (MNČ), musíme zavést předpoklady klasického lineárního regresního modelu (KLRM) a odhadnout momentové charakteristiky odhadové funkce b.

Pro zavedení předpokladů KLRM a odvození momentových charakteristik odhadové funkce MNČ budeme vycházet z KLRM v maticovém vyjádření, který má následující podobu:

Klasický lineární regresní model v maticovém vyjádření

kde y je sloupcový vektor n pozorování hodnot závisle proměnné, X je matice n x (k + 1) pozorování hodnot vysvětlujících proměnných, β je sloupcový vektor k + 1 neznámých parametrů a ε je sloupcový vektor n hodnot náhodné složky

Předpoklady KLRM a náhodná složka

Mají-li mít složky odhadu b vektoru neznámých parametrů β KLRM optimální vlastnosti, musí být splněny následující předpoklady:

  • P1: E(ε) = 0 - střední hodnota náhodné složky je ve všech pozorováních nulová
  • P2: E(εεT) = σ2In - náhodné složky mají konstantní a konečný rozptyl (= homoskedasticita) a jsou navzájem nekorelované (= sériová nezávislost)
  • P3: E(XTε) = 0 - matice hodnot nezávisle proměnných X je nezávislá na náhodné složce, matice X je nestochastická
  • P4: h(X) = k + 1 ≤ n - matice nezávisle proměnných X musí mít plnou hodnost k + 1 - sloupce matice X nejsou lineárně závislé

Z uvedených předpokladů je patrné, že zvláštní pozornost je věnována náhodné složce ε. Náhodná složka hraje důležitou roli v momentových charakteristikách odhadové funkce b a jejím pravděpodobnostním rozdělení. Ke klasickým předpokladům se přidává předpoklad normálního rozdělení náhodné složky s nulovou střední hodnotou E(ε) = 0 a rozptylovou neboli kovarianční maticí ∑ = σ2In. Regresní model nyní můžeme zapsat v následující podobě:

Normální rozdělení náhodné složky KLRM

V praxi je kladen velký důraz na sériovou nezávislost a konstantní rozptyl (P2). Vlastnosti náhodné složky hrají ústřední roli při testování statistických hypotéz (t-test regresních parametrů, F-test regresního modelu), konstrukci intervalů spolehlivosti pro parametry modelu a předpověď budoucí hodnoty závisle proměnné y.

Momentové charakteristiky odhadové funkce MNČ

Od normálního rozdělení náhodné složky se odvíjí rozdělení odhadu b vektoru neznámých parametrů β. Náhodnou veličinu b s normálních rozdělením můžeme popsat pomocí vektoru středních hodnot E(b) a kovarianční matice V(b). Na základě výše uvedených předpokladů, které se týkají náhodné složky, můžeme formálně odvodit uvedené charakteristiky odhadové funkce b = (XTX)-1XTy metody nejmenších čtverců.

Výchozím bodem k odvození střední hodnoty E(b) a kovarianční matice V(b) je substituce maticového zápisu KLRM do odhadové funkce MNČ.

Výchozí krok pro odvození střední hodnoty a kovarianční matice odhadové funkce MNČ

S využitím prvního klasického předpokladu E(ε) = 0 odvodíme střední hodnotu odhadové funkce MNČ. Vektor β je konstanta, proto je i její střední hodnota konstantou. To samé platí i pro matici X a všechny její kombinace.

Střední hodnota odhadové funkce MNČ

S využitím druhého klasického předpokladu E(εeT) = σ2In odvodíme rozptylovou neboli kovarianční matici odhadové funkce MNČ.

Kovarianční matice odhadové funkce MNČ

Z odvozené kovarianční matice vyplývá, že standardní chyby odhadnutých parametrů jsou dány součinem rozptylu náhodné složky σ2 a prvků na diagonále inverzní matice (XTX)-1. Toto odvození je velmi důležité pro praktické testování statistické významnosti regresních parametrů.

Normálně rozdělená náhodná veličina b se střední hodnotou β a kovarianční matici σ2In se zapisuje jako

Kovarianční matice odhadové funkce MNČ

Vlastnosti odhadové funkce MNČ

Jsou-li splněny předpoklady KLRM, mají bodové odhady MNČ požadované vlastnosti, kterými jsou nestrannost odhadů a vydatnost. Uvedené vlastnosti platí pro malé i velké výběry pozorování. V případě nekonečně velkých rozsahů dat (n → ∞) mluvíme o asymptotických nebo limitních vlastnostech - asymptotická nestrannost, asymptotická vydatnost a konzistence.

Odhady b vektoru parametrů β regresního modelu jsou náhodné veličiny. Pro každý výběrový soubor dat nabývají odhady odlišných hodnot. Vztah E(b) = β znamená, že střední hodnota b z různých výběrů dat je rovna β. Odhady MNČ jsou tedy nestranné.

Odhady parametrů MNČ mají nejnižší rozptyl ze všech nestranných odhadových funkcí. Čím větší by byl rozptyl, tím rozptýlenější by byly hodnoty okolo střední hodnoty E(b) = β a tedy vzdálenější od β. Bodové odhady parametrů MNČ mají nízký rozptyl. Proto jsou jejich nestranné odhady také vydatné.

Odhady MNČ jsou konzistentní, pokud vychýlení a rozptyl odhadu s rostoucím rozsahem dat konverguje k nule. Tato vlastnost říká, že s rostoucím rozsahem dat dochází ke zlepšení bodových odhadů MNČ. Obecně platí, že čím větší rozsah dat máme k dispozici, tím kvalitnější je odhad regresního modelu.

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • ADAMEC, V., STŘELEC, L., HAMPEL, D.: Ekonometrie I - učební text. Mendelova univerzita v Brně 2013, Brno. První vydání, 162 stran. ISBN 978-80-7509-480-3
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
Nahoru