zpět na výpis    domů » statistika » Autokorelace náhodné složky

Autokorelace náhodné složky

Publikováno: 5.5.2018

Autokorelace náhodné složky

Článek navazuje na Testování regresního modelu, ve kterém je vysvětlen postup pro testování jednotlivých regresních parametrů a základní metody pro testování modelu jako celku. Dalším krokem statistické verifikace regresního modelu je testování odhadu náhodné složky z hlediska sériové nezávislosti. Sériová nezávislost náhodné složky je jedním z požadavků metody nejmenších čtverců (MNČ), jehož splnění zaručuje optimální vlastnosti odhadové funkce b = (XTX)-1XTy.

Cílem článku je popis diagnostických nástrojů, kterými lze v modelu detekovat sériovou závislost náhodné složky neboli autokorelaci. Existenci autokorelace náhodné složky lze řešit pomocí metody zobecněných nejmenších čtverců.

Požadavky na náhodnou složku

Klasický předpoklad MNČ ve vektorové formě E(εεT) = σ2In v sobě obsahuje dva požadavky na náhodnou složku regresního modelu. Prvním požadavkem je sériová nezávislost po sobě jdoucích hodnot náhodné složky. Druhým požadavkem je konstantní a konečný rozptyl náhodné složky.

Pro názornost si rozepíšeme zmíněný předpoklad na tříprvkovém vektoru ε. Střední hodnota součinu vektoru ε a transponovaného vektoru εT představuje kovarianční matici. Kovarianční matice obsahuje párové koeficienty kovariance, které vyjadřují míru lineární závislosti mezi veličinami. Požadujeme, aby kovariance mimo diagonálu matice byly nulové, neboť nulové kovariance představují nezávislost veličin. Požadavek nulové kovariance pro εt a εs zapíšeme jako E(εtεs) = 0. Na diagonále kovarianční matice leží konstantní rozptyl náhodné složky. Platí totiž, že kovariance stejné veličiny je rovna jejímu rozptylu E(εtεt) = σ2. Vytknutím konstantního rozptylu σ2 z kovarianční matice získáme jednotkovou matici.

Kovarianční matice náhodné složky

Příčiny a důsledky autokorelace

Nejčastějšími příčinami autokorelace náhodné složky bývají setrvačnost ve vývoji ekonomických časových řadách, chybná specifikace modelu a zahrnutí zpožděné endogenní a exogenní proměnné mezi vysvětlující proměnné modelu.

Je-li porušen požadavek sériové nezávislosti náhodné složky, nemají odhady MNČ parametrů β optimální vlastnosti. Odhady MNČ sice zůstávají nestranné, ale jejich rozptyl již není minimální a tedy nejsou vydatné, ani asymptoticky vydatné (n → ∞). V takovém případě se nemůžeme na odhadnutý model spolehnout a použít pro předpovědi modelu.

Reziduální složka modelu

V rámci regresní analýzy základní souboru jsou hodnoty závisle proměnné yi dány stochastickou závislostí teoretické regresní funkce ηi a náhodné složky εi.

Náhodná složka regresního modelu

Hodnoty náhodné složky v praxi neznáme, a proto si pomáháme aproximací pomocí reziduální složky ei. Reziduální složka je dána rozdílem mezi skutečnými hodnotami závisle proměnné yi a vyrovnanými hodnotami Yi. To znamená, že reziduální složka je ovlivněna zvoleným regresním modelem odhadnutým metodou nejmenších čtverců.

Reziduální složka regresního modelu

Identifikace autokorelace

Autokorelace náhodné složky vyjadřuje závislost hodnoty εt v čase t na předchozí hodnotě εt-s v čase t-s, přičemž platí t ≠ s. Autokorelace nebo též sériová závislost náhodné složky se projevuje zejména v čase.

Nejčastější forma autokorelační struktury je autokorelace prvního řádu. To znamená, že hodnoty náhodné složky εt jsou závislé na bezprostředně předcházejících hodnotách εt-1. Může se však objevit i autokorelace vyššího řádu, kterou se však v tomto textu zabývat nebudeme.

Autokorelaci prvního řádu lze předznamenat pomocí grafického zobrazení vývoje reziduální složky v čase. Potvrdit či vyvrátit existenci autokorelace však můžeme až na základě testovacích statistik, kterými jsou například autokorelační koeficient procesu AR(1), Durbin-Watsonův test a jeho modifikace.

Autoregresní model AR(1)

Je-li náhodná složka εt determinována bezprostředně předcházející hodnotou εt-1, je náhodná složka generována autoregresním procesem AR(1)

Detekce autokorelace 1. řádu.

kde ρ je koeficient autokorelace prvního řádu, ut je normálně rozdělená náhodná složka.

Je-li ρ = 0, pak náhodná složka vykazuje sériovou nezávislost. Naopak ρ = 1 představuje pozitivní autokorelaci náhodné složky a ρ = -1 negativní autokorelaci.

V praxi hodnoty náhodné složky ε neznáme, proto jsou aproximovány pomocí hodnot reziduální složky ei = yi - Yi. Na základě hodnot reziduí et je odhadován výběrový autokorelační koeficient r procesu AR(1) na své bezprostředně předcházející hodnotě et-1.

Odhad autokorelačního koeficientu náhodné složky prvního řádu

kde r je odhad autokorelačního koeficientu ρ, et je hodnota rezidua v čase t, et-1 je hodnota rezidua v čase t-1

Odhad parametru autoregresního modelu procesu AR(1) se provádí standardně pomocí metody nejmenších čtverců:

Odhadová funkce autokorelačního koeficientu procesu AR(1)

Parciální derivací minimalizačního kritéria MNČ ∑(et - ret-1)2 podle parametru r a položením rovno nule získáme rovnici, ze které vyjádříme odhadovou funkci pro koeficient r.

Odvození výpočtu autokorelačního koeficientu

Abychom mohli posoudit, zda je koeficient r statisticky významný a současně významná autokorelace reziduí, potřebujeme odhadnout kovarianční (rozptylovou) matici S(r) odhadové funkce r.

Kovarianční matice odhadové funkce r

Pro odhad kovarianční matice potřebujeme výběrový rozptyl náhodné chyby s2 autoregresního modelu a inverzní matici (XTX)-1 vypočtenou z hodnot et-1, která má v modelu charakter nezávisle proměnné.

Rozptyl autokorelačního koeficient procesu AR(1)

Odmocniny diagonálních prvků v kovarianční matici S(r) jsou odhady standardních chyb s(r) regresních parametrů, které se používají k testování statistické významnosti. Je potřeba upozornit, že matice (XTX) a tedy i inverzní matice (XTX)-1 v autoregresním modelu procesu AR(1) jsou řádu n = 1, tj. jednoprvková matice.

Standardní chyba odhadu r

Odhadnutou standardní chybu odhadu r využijeme k testování statistické významnosti pomocí t-testu, který je založen Studentově rozdělení t.

T-test parametru r

Vyhodnocení t-testu je detailněji rozebráno v článku Testování regresních parametrů modelu.

Durbin-Watsonův test

Autokorelace prvního řádu se nejčastěji testuje pomocí Durbin-Watsonova testu značeného standardně jako d nebo DW test. DW test bývá standardně součástí ekonometrických softwarů (např. Gretl).

DW test není použitelný pro regresní modely bez úrovňové konstanty a modely se zpožděnou závisle proměnnou mezi vysvětlujícími proměnnými.

Durbin-Watsonova statistika

kde et je hodnota rezidua v čase t, et-1 je hodnota rezidua a v čase t-1

DW statistika má symetrické rozdělení se střední hodnotou E(d) = 2. Hodnoty v její blízkosti představují sériovou nezávislost náhodné složky. Hodnoty blízké 0 představují pozitivní autokorelaci náhodné složky a hodnoty blízké 4 představují negativní autokorelaci.

K přesnému posouzení výsledků testovací statistiky d se používají tabulkové hodnoty, které vymezují intervaly pozitivní a negativní autokorelace, interval nulové autokorelace a intervaly šedé zóny (neprůkaznosti). Dolní dL a horní dU meze jsou koncipovány pro počet pozorování n a počet nezávisle proměnných k.

Například pro n=8 a k=1 jsou dL = 0,76 a dU = 1,33.

Vyhodnocení Durbin-Watsonova testu

Durbinovo h

Je-li do regresního modelu mezi nezávisle proměnné zahrnuta zpožděná závisle proměnná yt-1, ztrácí statistika d na síle. V takovém případě se pro testování sériové závislosti náhodné složky používá modifikovaný test Durbinovo h.

Durbinovo h

kde d je Durbin-Watsonova statistika, T je počet pozorování a sbj2 je odhad rozptylu parametru bj u zpožděné závisle (endogenní) proměnné.

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Použité zdroje a literatura
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • JAROŠOVÁ, E., PECÁKOVÁ, I.: Příklady k předmětu statistika B. Vysoká škola ekonomická 2003, Praha. První vydání, 222 stran. ISBN 80-245-0015-9
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
  • Wikipedia. Autokorelace [on-line] [cit. 2018-01-31]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Autokorelace
Nahoru