zpět na výpis    domů » statistika » Zobecněná metoda nejmenších čtverců

Zobecněná metoda nejmenších čtverců

Publikováno: 18.7.2017

Zobecněná metoda nejmenších čtverců

V praxi se stává, že nejsou splněny předpoklady pro odhad klasického lineárního modelu metodou nejmenších čtverců (MNČ). Takový model nemá optimální vlastnosti a je v praxi víceméně nepoužitelný. Předpoklady klasického lineárního regresního modelu jsou:

  • E(u) = 0
  • E(uuT) = σ2In
  • E(XTu) = 0
  • h(X) = k + 1 ≤ n

Prvním předpokladem je nulová střední hodnota náhodné složky. Pokud je porušen požadavek nulové střední hodnoty, nenulová střední hodnota se stává součástí odhadu úrovňové konstanty. Odhad úrovňové konstanty je vychýlený. Ostatní parametry jsou však nevychýlené.

Druhým předpokladem je konečný a konstantní rozptyl náhodné složky (=homoskedasticita) a sériová nezávislost náhodné složky. Porušení požadavku konstantního rozptylu se označuje jako heteroskedasticita. A porušení sériové nezávislosti se označuje jako autokorelace.

Třetím předpokladem je nezávislost matice X na náhodné složce. Matice X je nestochastická.

Čtvrtý předpoklad říká, že matice nezávisle proměnných musí mít plnou hodnot. To znamená, že sloupce pozorování matice X nejsou lineárně závislé. Porušení tohoto předpokladu se označuje jako multikolinearita.

Porušení předpokladu náhodné složky

Zobecněná metoda nejmenších čtverců (ZMNČ) řeší porušení požadavku kladeného na kovarianční matici náhodné složky E(uuT) = σ2In. To znamená, že náhodná složka nemá konstantní rozptyl (=heteroskedasticita) nebo je sériové závislá (=autokorelace). Popřípadě vykazuje současně heteroskedasticitu a autokorelaci.

Odhady klasickou MNČ jsou v takovém případě sice nestranné a konzistentní, ale nejsou vydatné a asymptoticky vydatné. Jinými slovy nemají minimální rozptyl a nelze jej využít pro testování regresních parametrů modelu, konfidenční intervaly apod.

Zobecněná metoda nejmešních čtverců

Podstatou ZMNČ je transformace původního modelu takovým způsobem, aby náhodná složka splňovala klasické předpoklady kladené na náhodnou složku a model mohl být odhadnut klasickou MNČ s optimálními vlastnostmi.

Zobecněný lineární regresní model lze vyjádřit ve tvaru y = Xβ + u, přičemž pro náhodnou složku platí předpoklady E(u) = 0 a E(uuT) = σ2V.

ZMNČ pracuje místo E(uuT) = σ2In s obecněji formulovaným předpokladem E(uuT) = σ2V, kde σ2 je neznámý skalár a V je známa symetrická pozitivně definitní matice řádu n. Taková náhodná složka může vykazovat sériovou závislost a nekonstantní rozptyl. Pokud není 2. předpoklad MNČ porušen platí, že σ2In = σ2V. Matici V lze vyjádřit jako součin dvou vzájemně transponovaných matic V-1 = TTT=TTT.

Transformace lineárního regresního modelu

Klasický model lineární regrese

y = Xβ + u

pronásobíme transformační maticí T

Ty = TXβ + Tu ⇒ y* = X*β + u*

Na takto upravený model již může být použita klasická MNČ, neboť pro kovarianční matici náhodné složky již platí

E(uu*T) = E(Tuu*TT*T) = TE(uu*T)TT= Tσ2VTT= σ2VV-1= σ2In

Odhadová funkce ZMNČ

b* = (XTV-1X)-1 + XTV-1y

s kovarianční maticí

σ2(XTV-1X)-1

Identifikace transformační matice T je předmětem kapitoly heteroskedasticity a autokorelace. Pro oba uvedené případy se matice T liší.

Algoritmus zobecněné MNČ

  • odhadněte model klasickou MNČ
  • otestujete, zda reziduální složka vykazuje heteroskedasticitu/autokorelaci
  • identifikujete vhodnou transformační matici T
  • pronásobíte původní proměnné modelu maticí T
  • odhadnete model klasickou MNČ na základě nových proměnných

Chcete vědět o každém novém článku? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Použité zdroje a literatura
  • CIPRA, T.: Finanční ekonometrie. EKOPRESS 2008, Praha. První vydání, 538 stran. ISBN 978-80-86929-43-9
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • LEJNAROVÁ, Š., RÁČKOVÁ, A., ZOUHAR, J.: Základy ekonometrie v příkladech. Vysoká škola ekonomická 2009, Praha. První vydání, 276 stran. ISBN 978-80-245-1564-9
Nahoru